無窮直線上的 Hilbert邊值問題解的穩(wěn)定性

王薈敬,林峰

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州 362021)

無窮直線上的 Hilbert邊值問題解的穩(wěn)定性

王薈敬,林峰

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州 362021)

利用共形映射理論,當無窮直線發(fā)生光滑攝動后,討論 Hilbert邊值問題的解及其存在性和穩(wěn)定性問題,并給出相應(yīng)的誤差估計.當邊值問題的指標κ≥0時,方程有一般解且是穩(wěn)定的;當邊值問題的指標κ<0時,引進攝動擬可解的概念,討論擬解的穩(wěn)定性.

Hilbert邊值問題;無窮直線;光滑攝動曲線;穩(wěn)定性

1 問題的提出

設(shè)Ex是以X軸為對稱軸,且包含X軸在內(nèi)的帶寬為ρ0的帶形域.其中:X為σ平面的實軸;ρ0是一充分小的正數(shù).設(shè)R是一個充分大的正數(shù),E1={z|z=x+iy∶-R≤x≤R,-ρ0≤y≤ρ0}.

定義1[1]設(shè)f是定義在帶形域Ex上的復(fù)函數(shù),若在E1上,f(x)∈Hμ;在ExE1上滿足

設(shè)a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex)是定義在Ex上的實函數(shù),無窮直線上的 Hilbert邊值問題(Ⅰ):要求一個在Σ+內(nèi)全純,在=Σ++X上連續(xù)的函數(shù)Φ(σ),使得

記B(ρ0)={ω|ω∈‖ω‖2<ρ0}.X軸經(jīng)光滑攝動ω(x)后,得到曲線Xω,即Xω={ξ|ξ=x+ω(x),x∈X,ω(x)∈B(ρ0)}?Ex.由此易知,Xω仍為過∞的光滑曲線.

Σ+(Σ-)為平面內(nèi)曲線X的上側(cè)(下側(cè))開區(qū)域為σ平面內(nèi)Xω的上側(cè)(下側(cè))開區(qū)域,記Ω+=∩Σ+,Ω-=∩Σ-,Ω=Ω+∪Ω-.當X軸發(fā)生攝動ω(x)后,得到新的 Hilbert邊值問題(Ⅱ):求在內(nèi)的全純函數(shù)Φω(σ),連續(xù)到=+Xω上滿足

,則Hilbert邊值問題(Ⅰ)轉(zhuǎn)化為 Hilbert邊值問題(Ⅲ):求在D+(Γ所圍的內(nèi)部區(qū)域)內(nèi)的全純函數(shù)Φ＊(z),連續(xù)到=D++Γ上,滿足邊值條件Xω映射成z平面上的近似于單位圓的閉曲線Γ,則Hilbert邊值問題(Ⅱ)轉(zhuǎn)化為Hilbert邊值問題(Ⅳ):求在所圍的內(nèi)部區(qū)域)內(nèi)的全純函數(shù)連續(xù)到=+Γω上,滿足邊值條件

記f(σ)=f＊(z)=f(T-1(z)))[2].在下面的證明中依然使用此記法.

2 Hilbert邊值問題(Ⅱ)的解

引理2[3]Hilbert邊值問題(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ),(Ⅳ)的指標κ,κ＊,κω均相等.

引理3 在 Hilbert邊值問題(Ⅲ)和 Hilbert邊值問題(Ⅳ)中,記ζ=t+ρ(t),則有‖ρ‖2≤Cρ0.其中:‖ρ‖2如式(1)定義;‖ω‖2如式(3)定義.

由‖ω‖2=‖ω‖0+‖ω‖01+‖ω‖02<ρ0,可得|ρ″(t)|≤C1ρ0.綜上,有‖ρ‖2≤Cρ0.

由引理3可知,Γω滿足文獻[2]引理1的條件.記f＊(Ψ(·,Γ))=·)是以下討論中形式為的函數(shù),則由文獻[2]可知∈Hμ(1-ε)(Γ);f(Ψ(·,X))=fΨ(·).由文獻[4]中的引理1.5.1可得,fΨ∈Hμ(1-ε)(X).另外,記F(·,Γω)=F(T(,Xω),則下面定理成立.

定理1(1)當κ≥0時,Hilbert邊值問題(Ⅱ)有一般解.即

3 Hilbert邊值問題(Ⅱ)的穩(wěn)定性

定義2 假設(shè)Φ(σ),Φω(σ)分別是 Hilbert邊值問題(Ⅰ),(Ⅱ)的解.當攝動項‖ω‖2→0時,若有‖Φω-Φ‖Ω+→0成立,則稱 Hilbert邊值問題(Ⅱ)的解Φω(σ)在集Ex上時是穩(wěn)定的.

(1)κ≥0時解的穩(wěn)定性證明.

證明 由引理3和文獻[3]定理1的證明,可得

因為G＊(z)=G(σ),所以‖G＊‖Γ=‖G‖X.另一方面,由文獻[2]中的定義可知

同理,可證明A(B＊)≤CA(B),‖P＊‖Γ=‖P‖X.所以有

推論1 任給ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(E),當κ≥0且σ∈Ω+=∩Σ+時,Hilbert邊值問題(Ⅰ)的解Φ(σ)與 Hilbert邊值問題(Ⅱ)的解Φω(σ)滿足

(2)κ≤-2時解的穩(wěn)定性證明.

定義3 對于 Hilbert邊值問題(Ⅱ),當κ≤-2時,若

成立時,攝動擬可解.此時,稱式(8)為它的擬解.類似于文獻[2]的定理2和推論2,有以下結(jié)論.

定理3 任給ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex),v∈(0,1),當κ≤-2時,Hilbert邊值問題(Ⅱ)當且僅當式(8)成立時,攝動擬可解,擬解為式(8).此時,Pκ(σ)=0,且此擬解與 Hilbert邊值問題(Ⅰ)的解滿足

推論2 任給ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex),當κ≤-2且σ∈Ω+=∩Σ+時,Hilbert邊值問題(Ⅰ)的解Φ(σ)與 Hilbert邊值問題(Ⅱ)的擬解Φω(σ)滿足

[1]章紅梅.王傳榮.Riemann邊值問題的解關(guān)于邊界曲線的穩(wěn)定性[J].福州大學學報:自然科學版,2001,29(1):1-4.

[2]ZHANG Hong-mei,WANG Chuan-rong,ZHU Yuan-can.Stability of solutions to hilbert boundary value problem under perturbation of the boundary curve[J].J Math Anal App l,2003,284(2):601-617.

[3]章紅梅.無窮直線上的Riemann邊值問題解的穩(wěn)定性[J].數(shù)學研究,2005,38(4):394-397.

[4]路見可.解析函數(shù)邊值問題[M].上海:上海科學技術(shù)出版社,1987:56-58.

[5]林珍連.某些調(diào)和單葉函數(shù)的穩(wěn)定性及系數(shù)估計[J].華僑大學學報:自然科學版,2009,30(6):718-719.

(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

Stability of the Solution of Hilbert Boundary Value Problem on Infinite Line

WANG Hui-jing,L IN Feng
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

App lying the know ledge of quasiconformal mapping theorem,we discuss the stability and existence of the solution of Hilbert boundary value problem on the infinitely line w hen the smooth perturbation of the infinite line occurs, and give the correspording error estimates.If the index of this problem is non-negative,the probcems have general stable solutions.For negative index we give a conception of quasi-solution and discuss its stability correspondingly.

Hilbert boundary value problem;infinite line;smooth perturbation curve;stability

O 175.8

A

1000-5013(2011)03-0352-04

2010-05-23

林峰(1962-),男,副教授,主要從事解析函數(shù)邊值問題的研究.E-mail:lfeng@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金資助項目(2007J0183)