可正定化矩陣的判別定理

陳恒新

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

可正定化矩陣的判別定理

陳恒新

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

對有關可正定化矩陣的理論做進一步的研究,給出有關可正定化矩陣的充分必要性定理.有關可正定化矩陣的主要判別定理是構造性的,即相關的對角陣D0,D＊是可由矩陣A的元素確定構造的.數值例子表明,定理具有較好的實用性.

可正定化矩陣;判別定理;充分必要性;構造性

對于解線性方程組Ax=f的許多迭代法,當系數矩陣A正定時的收斂性定理可直接推廣到A為可正定化矩陣[1-4].關于可正定化矩陣,文獻[1-2]從理論上進行研究,給出了一些相關定理及判定方法.然而,目前關于這一類問題的研究尚不夠深入.為此本文對有關可正定化矩陣的理論做進一步的研究,給出了一些可正定化矩陣的充分必要性定理.

1 相關記號

為敘述簡便,先引入如下記號.n階實矩陣A=[ai,j];對角陣 D=diag(d1,d2,…,dn),若di>0,i= 1,2,…,n,則稱D為正對角陣;集合N={1,2,…,n}.

2 可正定化矩陣的定義及判別定理

定義1 若存在對角陣 P和Q使PAQ為正定矩陣,則稱A為可正定化矩陣.

由文獻[1]的定理1,2可知有如下引理.

引理1n階矩陣A是可正定化矩陣的充分必要條件是存在對角陣D,使DA為正定矩陣.

引理2n階矩陣A是可正定化矩陣的充分必要條件是存在正對角陣D,使DA+為正定矩陣.

顯然,由引理1,2可知有如下引理.

引理3n階矩陣A是可正定化矩陣的充分必要條件是A+為可正定化矩陣.

由文獻[3]的定理5,6可知有如下引理.

引理4 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是,它的所有順序主子式det Ak>0,k=1,2,…,n.

對任正對角陣D,DA+非對稱;若不然,DA+為對稱矩陣.因為 DA+=[di~ai,j],所以有=

顯然,若的某一對對稱元素不同時為零(即一個為零,另一個非零),則對任正對角陣D,DA+非對稱.

若矩陣A有零對角元,則DA亦有零對角元.綜上所述,由引理5及引理1,2可得如下定理.

定理1 若n階矩陣A有零對角元或其A+的某一對對稱元素異號或不同時為零,則A不是可正定化矩陣.

由引理3及定理1可知,判別n階矩陣A是否為可正定化矩陣,只需考察相應的主對角元全為正的,且有如下所定義的矩陣.

定義2 若n階矩陣A=[ai,j]的主對角元全為正,即ai,i>1,i=1,2,…,n,且A的對稱元素ai,j與aj,i(i≠j),i,j=1,2,…,n同號或同時為零.即ai,j aj,i≥0且ai,j aj,i=0,當且僅當ai,j=aj,i=0,則記為A∈S+.

引理6 設n階矩陣A=[ai,j]中存在某一個l∈N,使得al,j=aj,l≠0,j=1,2,…,l-1,l+1,…,n.若A不是對稱矩陣,則對任非奇異對角陣D,DA不是對稱矩陣.

證明 因為A是非對稱矩陣,則必存在i0≠j0,使≠

于是有 D=diag(d,d,…,d),d≠0.因此,DA=[dai,j].由于 DA為對稱陣,則有=故可得=與≠矛盾.

所以可知,不存在非奇異對角陣D,使DA為對稱矩陣.證畢.又由已知有d1d2…dk>0,可知引理8成立.證畢.

定理2 設n階矩陣A∈S+,且A=[ai,j]中存在al,j≠0,aj,l≠0,j=1,2,…,n(l為 N中的某一個數),則A為可正定化矩陣的充分必要條件是D0A為正定矩陣,而D0與引理7中 D0=diag(d1,d2,…, dn)所確定的對角陣相同.

證明 因A∈S+,可知D0為正對角陣,且矩陣A相應的A+=A.

充分性.若D0A為正定矩陣,由引理2可知A是可正定化矩陣.

必要性.若A是可正定化矩陣.

反證 假設D0A不是正定矩陣,則有下列2種情況.

(2)D0A為對稱矩陣,但D0A不為正定矩陣.

由引理4可知,必存在某一個k,使det(D0A)k≤0,1,≤k≤n.因 D0為正對角陣,由引理8可知有det Ak≤0,1≤k≤n.但因A是可正定化矩陣,由引理2可知,必存在正對角陣D使DA+=DA為正定矩陣.于是,由引理4可知有det(DA)k>0,k=1,2,…,n.又由引理8可知有det Ak>0,k=1,2,…,n.這與det Ak≤0,1≤k≤n矛盾.即情況(2)亦不可能出現.因此,可知D0A為正定矩陣.證畢.

引理9 假設n階矩陣A的三對角矩陣Atrd為兩條斜對角線元素皆不為零的對稱陣.即ai,i+1=ai+1,i≠0,i=1,2,…,n-1.若A不是對稱矩陣,則對任非奇異對角陣D,DA不是對稱矩陣.

證明 因A為非對稱矩陣,則必存在i0≠j0,使ai0j0≠aj0i0.

于是有 D=diag(d,d,…,d),d≠0,故 DA=[dai,j].因為 DA為對稱矩陣,則有dai0,j0=daj0,i0,由此可得ai0,j0=aj0,i0與ai0,j0≠aj0,i0矛盾.所以可知,不存在非奇異對角陣 D使DA為對稱矩陣.證畢.

其次,若ai,i+1≠0,ai+1,i≠0,i=1,2,…,n-1中ai,i+1·ai+1,i>0,則 D＊為正對角陣.

據引理9,10及相關引理,完全類似定理2的證明,便有下列定理.

定理3 設n階矩陣A∈S+,且A的三對角矩陣Atrd中兩條斜對角線元素皆不為零,即ai,i+1≠0, ai+1,i≠0,i=1,2,…,n-1.則A是可正定化矩陣的充分必要條件,D＊A為正定矩陣.其中:D＊同引理10中 D＊=diag(d1,d2,…,dn)所確定的對角陣.

3 數值例子

[1]王偉賢,王志偉.關于可正定化矩陣的判定[J].數值計算與計算機應用,1999,20(3):215-222.

[2]胡家贛,劉興平.EPEk方法和可正定化矩陣[J].數值計算與計算機應用,1997,18(1):30-39.

[3]蔣爾雄,高坤敏,吳景琨.線性代數[M].北京:人民教育出版社,1978.

[4]陳恒新.關于非負矩陣Perron特征值的上、下界[J].應用數學與計算數學學報,2007,21(1):1-8

(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

Criteria theorem of Positive-Definable Matrix

CHEN Heng-xin
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

Theory of the positive-definable matrix be further studied.The necessary and sufficient theo rem s for the positive-definable matrix are given in the paper.These theorem s have better uses than the present critical theorems,that is, the co rrelated diagonal matrix D0,D＊in our theorem s can be structured determinately by the elements of the matrix A. For this reason,it has good practical value.Four numericial examples are given here,that show s these theorems had better practical uses.

positive-definable matrix;critical theorem;necessity and sufficiency;structure

O 241.6

A

1000-5013(2011)03-0356-05

2009-12-16

陳恒新(1956-),男,副教授,主要從事計算數學和數值代數的研究.E-mail:chenhx@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金計劃資助項目(S0650018)