端面對軸線的垂直度誤差測量及評定的新方法*

林志熙 黃富貴

(①福建工程學院機電及自動化工程系，福建福州350108;②華僑大學機電系，福建泉州362021)

檢驗端面對軸線垂直度誤差的傳統方法，一般將基準軸線調至與平板垂直，用指示計在整個被測表面上測量，并取指示計的最大讀數差作為被測端面對基準軸線的垂直度誤差。這種檢測方法不符合GB/T 1958—2004規定中端面對軸線垂直度誤差的定義，只能用于檢驗位置精度要求較低的零件，且調整、測量效率低。

如何應用簡單方便但又符合國家標準定義的方法來測量和評定面對線垂直度誤差，一直是該領域研究人員的研究熱點之一。文獻［1］用萬能工具顯微鏡測量，介紹了端面對軸線垂直度誤差最小二乘評定法，測量設備成本較高，且不符合形位誤差國家標準的定義。針對這一問題，本文采用光學分度頭測量，建立基準符合最小條件法、最小二乘法、端點連線法的面對線垂直度誤差的數學模型，基于該模型研發了計算機數據處理系統，該系統既能求出基準軸線的空間任意方向直線度誤差，還能求出端面對軸線垂直度誤差，并繪出直觀形象的三維模擬圖形。該方法符合垂直度誤差國家標準的定義，且測量方便，數據處理效率高。

1 數學模型

在評定端面對軸線垂直度誤差時，首先要確定基準要素的方向，即對空間任意方向直線度誤差進行評定。然后垂直于基準要素方向，對被測平面作兩個最小包容平行平面，此平行平面即形成被測要素最小包容區域，該平行平面間距離，即為被測要素在給定方向上相對基準要素的垂直度誤差。

1.1 建立基準軸線

基準軸線的建立，即對空間任意方向上直線度誤差的測量與評定。形狀和位置誤差檢測國家標準GB/T 1958—2004中提出的“最小條件原則”，即評定時被測提取要素對其擬合要素的最大變動量為最小［2］。如圖1所示。首先是對被測孔或軸的不同橫截面圓進行測量采點，按最小條件法擬合出各橫截面圓的擬合圓心C，連接這些圓心即得到空間提取軸線2，包容提取空間軸線上的各測點、且直徑最小的最小包容圓柱面4的直徑就是被測實際孔心線或軸心線的直線度誤差，該圓柱體的軸線1即為基準軸線。

1.1.1 空間提取軸線的確定

對被測孔或軸的不同橫截面圓進行等角度間隔采樣，如圖2中所示，在某一截面各采樣點分布。O為分度頭回轉中心，即坐標原點，Δri為該截面測得的半徑變化量，θi為各被測點的回轉角(i=1，2，…，n)。因此測點直角坐標值 xi=(r0+ Δri)cosθi，yi=(r0+ Δri)sinθi。其中r0為基圓半徑(這是個未知數，但接近零件的基本尺寸)。

滿足最小化時，F(x，y)的(x，y)即為各采樣截面內實際輪廓的符合最小條件的擬合圓心。基準提取軸線就由各擬合圓心C1，C2，…，Cn連成的空間折線來體現，如圖1所示。

1．1．2 空間任意方向直線度誤差的評定和基準方向的確定

在空間任意方向評定直線度誤差時，常用最小條件法、最小二乘法、兩端點連線法。其中按最小包容區域法評定符合公差帶概念，求得的誤差值最小，一般作為爭議時的仲裁依據。

設擬合基準軸線L為

方向由 j、k、q 三個參數決定，位置由 u、v、g 決定。各擬合圓心點C(xi，yi，zi)到擬合基準軸線的距離為

(1)最小條件法

按最小區域法評定直線度誤差實質上是尋找最小外包容圓柱，則其目標函數定義為 F(u，v，g，j，k，q)={max(di)}，滿足最小化時，F(u，v，g，j，k，q)的(u，v，g，j，k，q)即為理想空間軸線 L，且該六元函數 F(u，v，g，j，k，q)的最小值的兩倍即為空間任意方向直線度誤差。

(2)最小二乘法

根據最小二乘原理，找到最小二乘中線即擬合基準軸線L，使擬合圓心到該直線的距離平方和為最小。即目標函數 F(u，v，g，j，k，q)={∑d2i}滿足最小化。最小二乘中線的最小包容圓柱面的直徑即為空間任意方向直線度誤差。

(3)端點連線法

擬合基準軸線L與兩端點連線平行(或重合)，并具有最小直徑的兩端點連線包容圓柱面。兩端點坐標已知，分別為(x1，y1，z1)和(xn，yn，zn)，因此擬合基準軸線方向向量為

其目標函數F(u，v，g)={max(di)}滿足最小化時，即可求得空間任意方向直線度誤差及擬合基準軸線L。

1．2 評定垂直度誤差

擬合基準軸線確定后，就可進一步計算被測端面對基準軸線的垂直度誤差。根據定義，定向最小區域是指按擬合要素的方向包容被測提取要素時，具有最小寬度f或直徑Φf的包容區域［2］。包容被測提取端面、垂直于擬合基準軸線并且相距最近的兩平行平面間的距離，即為端面對軸線的垂直度誤差值。

2 Matlab程序設計

最小區域圓心的確定，用最小條件法、最小二乘法、端點連線法，評定空間任意方向直線度誤差和基準方向，分別屬于求解二元、六元、三元函數在指定點附近最小值，即求解無約束條件非線性極小值。Matlab 7的優化工具箱中的優化算法函數 fminsearch和Fminunc均可解決此類問題。只要建立以上所述的目標函數，調用相應的函數，即可求得結果，無需編寫求解的程序，求解過程非常簡單。而評定垂直度誤差運用Matlab數值計算功能，通過正確的數學模型即可得［3-5］。

筆者還設計了可供用戶方便操作的圖形用戶界面［6-7］，用戶可直接在界面上將所測得的數據輸入到相應的文本框中，選定方法，即可得到基準要素3種評定方法的空間任意方向直線度誤差以及垂直度誤差評定結果。利用Matlab強大的圖形功能對實際被測平面進行三維顯示［3-5］。繪制出基準要素3種評定方法確定的基準理想要素，被測要素的實際輪廓即折面圖和上、下包容面，并可將該圖進行旋轉、縮放，可清楚地反映出被測量的幾何特征及評定準則的應用情況，對計算結果進行驗證。該軟件計算精度高，直觀明了，實用性強。

3 測量實例

表1 測量數據

用光學分度頭對一工件(如圖4所示)進行實際測量。在工件圓柱上相鄰15 mm截取8個截面，每個截面每轉過45°由指示表在被測輪廓上測取相應的半徑變化量△r。在光學分度工作臺上加裝一垂直導向定位塊，移動杠桿千分表，在工件端面上從圓心開始向外每10 mm測量端面變化量，共測量5個截面，每截面測量間隔也為45°。所測數據如表1所示。

將測量數據輸入系統界面，選擇基準要素的評定方法，可分別計算直線度及垂直度誤差。并在界面左邊繪出誤差示意圖，進一步驗證算法的正確性。如圖5所示。

表2 測量結果

最小條件法、最小二乘法、端點連線法等3種數據處理方法所得的結果見表2。其中最小條件法求出的基準軸線直線度誤差值最小，符合國標規定，而垂直度誤差由被測平面決定。

4 結語

(1)本文介紹的基準符合最小條件法、最小二乘法、端點連線法的面對線垂直度誤差的評定方法，具有數學模型簡單、編程容易、程序短和運行速度快等特點。

(2)該系統可同時滿足符合最小包容條件的基準軸線空間直線度誤差和端面對軸線垂直度誤差的求解。

(3)檢測示意圖清楚地反映出被測量的幾何特征及評定準則的應用情況，對計算結論進行驗證。

(4)通過測量實例，證明了這種測量及評定方法準確度高、處理效率高、成本低、適用范圍廣、實用性強;具有較高的理論價值和實用價值，是一種較好的計算機輔助形位誤差評定系統。

［1］甘永立.幾何量公差與檢測［M］.上海:上海科學技術出版社，2004.

［2］中華人民共和國國家標準GB/T 1958—2004:產品幾何量技術規范(GPS)形狀和位置公差檢測規定［S］.北京:中國標準出版社，2005.

［3］張志涌.精通 MATLAB 6.5版［M］.北京:航空航天大學出版社，2003.

［4］飛思科技產品開發中心.MATLAB 7基礎與提高［M］.北京:電子工業出版社，2005.

［5］Gerald Recktenwald.數值方法和MATLAB實現與應用［M］.伍衛國，方群，張輝，等譯.北京:機械工業出版社，2004.

［6］王默玉，宗偉，劉春磊，等.基于MATLAB的圖形用戶界面的構造方式與應用［J］.現代電力.2002.19(1):76-78.

［7］梁輝.MATLAB制作圖形用戶界面的應用［J］.佳木斯大學學報，2003，21(4):403-407.