數(shù)學物理方法中MATLAB的應用

譚少軒 李平舟

（西安電子科技大學理學院，陜西 西安 710071）

數(shù)學物理方法中MATLAB的應用

譚少軒 李平舟

（西安電子科技大學理學院，陜西 西安 710071）

數(shù)學物理方法廣泛應用于物理教育、通信、光纖傳輸?shù)雀鱾€領(lǐng)域。其計算復雜，知識內(nèi)容跨度頗大。使得學生學習物理方法時較為吃力。而 MATLAB作為目前較為流行的數(shù)學軟件之一，對數(shù)學物理方法中圖像的處理、復雜公式的計算有相當大的作用。文章就MATLAB處理數(shù)學物理方法中的一些函數(shù)作出了簡單的介紹。

數(shù)學物理方法；復變函數(shù)；積分變換；特殊函數(shù)

（一）引言

數(shù)學物理方法是許多理工專業(yè)的必修課和重要基礎課，是學生進行“電磁場理論”、“光纖通信”以及“微波技術(shù)”學習的重要前導課程，也是科研人員常用的基本方法。但它是一門公認的難度大的課程。因課程內(nèi)容抽象，數(shù)學推導繁瑣，學生學習起來感到非常枯燥。MATLAB是高性能的數(shù)值計算型數(shù)學類科技應用軟件。具有優(yōu)秀的數(shù)值計算功能和強大的數(shù)據(jù)可視化能力。在“數(shù)學物理方法”中應用MATLAB進行習題求解和計算機仿真，一方面可以提高解題的速度，另一方面可將抽象的解和一些特殊函數(shù)以圖形形式顯示出來．直觀明了，物理意義明確。

（二）MATLAB在復變函數(shù)中的應用

1.復數(shù)計算

例1：求(1 + i )6的實部、虛部、共軛復數(shù)、模與輻角。

定義復數(shù)后，利用簡單的MATLAB語句：real()、imag()、conj()、abs()、angle()可直接得出復數(shù)的的實部、虛部、共軛復數(shù)、模與輻角。

解：＞＞a=[(1+i)^6;

＞＞ a=(1+i)^6;

＞＞ real(a)

ans =

0

＞＞ imag(a)

ans =

-8

＞＞ conj(a)

ans =

0 + 8.0000i

＞＞ abs(a)

ans =

8

＞＞ angle(a)

ans =

-1.5708

例2：求方程 027z3=+ 的所有根。

調(diào)用內(nèi)部函數(shù)Solve進行求解。

解：＞＞ solve('z^3+27=0')

ans =

-3

3/2 - (3*3^(1/2)*i)/2

3/2 + (3*3^(1/2)*i)/2

2.Taylor級數(shù)展開

Taylor級數(shù)的展開可以用符號工具箱中的Taylor( )函數(shù)直接導出。

解：＞＞ syms z;

＞＞ taylor((z+1)/(1-z))

ans =

2*z^5 + 2*z^4 + 2*z^3 + 2*z^2 + 2*z + 1

3.留數(shù)計算

通過求極限的方法計算留數(shù)。

解：通過對函數(shù)的分析，可知z=0是三階極點，z=2i,-2i是單極點。

＞＞ syms z;

＞＞ f=(z+2*i)/(z^5+4*z^3);

＞＞ limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1:2),z,0)

ans =

-i/8

＞＞ limit(f*(z-2i),z,2i)

ans =

i/8

＞＞ limit(f*(z+2i),z,-2i)

ans =

0

計算留數(shù)．還可直接調(diào)用MATLAB函數(shù)庫中的Residue函數(shù)直接計算，見下題。

4.積分計算

積分計算可以轉(zhuǎn)化為留效計算，先求被積函數(shù)的留數(shù)，利用留數(shù)定理求復變幽數(shù)的積分。

解：：＞＞[R,P,K]=residue([1]，[1，0，5,0，4])

R= %求被積函數(shù)的留數(shù)

0+0．0833i

0-0．0833i

0-0．1667i

0+0．1667i

P= %四個極點

O+2．0000i

0-2．0000i

0+1．0000i

0-1．0000i K

= %(展開式中無此解析項)

利用MATlAB進行復數(shù)運算、級數(shù)展開、計算留數(shù)、計算積分，操作簡單，運算速度快，比起手T計算省時、方便。

5.復變函數(shù)的作圖

MATLAB可以進行復數(shù)運算，也可以進行復變函數(shù)的繪圖。對于多值函數(shù)MATLAB僅對主值進行運算。 MATLAB中表現(xiàn)復變函數(shù)的方法是用三個空間坐標再加上顏色的方法來實現(xiàn)。從圖形中就可以很容易看出復變函數(shù)的某些性質(zhì)。具體作圖時，以XOY表示自變量所在的復平面，以Z軸表示復變函數(shù)的實部。而用顏色來表示復變函數(shù)的虛部。為了能明確的表示顏色與數(shù)值之間的對應關(guān)系，通常使用指令colorbar來標注各個顏色所代表的數(shù)值。

MATLAB常用的畫復變函數(shù)圖形的指令有如下幾種：CPLXGRID、CPLXMAP、CPLXROOT，CPLXROOT(n，m)等。另外，在MATLAB里面，專門提供了復變函數(shù)繪圖的演示程序、只需在命令行下面輸入playshow cplxdemo，即可瀏覽相應的圖形及編程方法，非常方便。

把復變函數(shù)理論中經(jīng)常用到的一些函數(shù)做成一個圖形界面的繪圖程序，通過在下拉菜單中選定函數(shù)給定各參數(shù)的值，點擊即可在相應的坐標平面中得到其圖形。由于MATLAB提供了非常方便的圖形觀察工具，同學們可以通過鼠標的拖曳從空間各個角度觀察圖形，從而大大加深其對復變函數(shù)的理解，掌握它們的一些基本性質(zhì)。利用這些圖形來展示黎曼面，教學效果也非常好。如圖求xycossinz=

圖1 復變函數(shù)示意圖

（三）特殊函數(shù)中的應用

特殊函數(shù)始終是“數(shù)學物理方法”中的一個重點與難點，大多數(shù)學生對此十分頭疼。因此，對于特殊函數(shù)的教學，除了正常的課堂內(nèi)容外，我們還采用基于問題的學習方法(Problem Based Learning，PBL)安排了相應的作圖實驗，要求同學們將教材上所有相關(guān)曲線用MATLAB進行繪制，同時作為平時成績進行考核，并鼓勵學生針對學習中的難點自己設計課件，通過作圖加深理解。利用這種方法，極大地調(diào)動了同學們的學習積極性與主動性，增加了對特殊函數(shù)性質(zhì)的認識。

其編程語言為：x=0:0.01:50 Plot(x,BESSEIJ（15，x）)

圖2 貝塞爾函數(shù)15階 (X)J15 的曲線分布

例2：畫出連帶勒讓德多項式（2階）的曲線分布。

MATALAB語句為：x=-1:0.01:1;

Plot(x,legendre(2,x))

曲線如圖3：

圖3 連帶勒讓德多項式（2階）的曲線分布

（四）MATLAB在積分變換中的應用

利用MATLAB語句：Fourier(：f．x，w)、laplace(f,x,w)，

可將函數(shù)f(x)進行傅里葉變換和拉普拉斯變換。而對于積分反變換，則可以用fourier(F)和laplace(L)來實現(xiàn)。編程制作了拉普拉斯變換和傅里葉變換的電子版積分變換對照表，使用該對照表可以進行原函數(shù)和變換函數(shù)之問的互查。同學們一方面可以對所做題目進行驗證，另一方面可以利用該表輔助做題，對于那些無法得到變換函數(shù)的題目也可以及早發(fā)現(xiàn)，避免無謂的時間浪費。

解：＞＞syms x w：

＞＞syms a petitive

＞＞f=1／((x^2+a^2)；

＞＞F=Fourier(f,x,w)

F=pi*(signum(0Re(a)0)*cosh(a*w)-2*Heaviside(w

)*sinh(a*w)+sinh(a*w))／a

例2：已知函數(shù)f(x)=x3e?x，試求取該函數(shù)的Laplace變換，

并對結(jié)果進行Laplace反變換。

解：＞＞syms x w：

＞＞f=x^3+exp(-x)；

＞＞F=laplace(f,x,w)

F=6/(w+1)^4

對得出的結(jié)果進行Laplace反變換。從而有

＞＞ilaplace(F)

ans=x^3+exp(-x)

利用手工方法對函數(shù)進行Fourier變換和Laplace變換，計算起來繁瑣、復雜，且容易出錯，利用MATLAB快速、準確。

（五）在解數(shù)學物理方程中應用MATLAB

對于大多數(shù)的數(shù)學物理問題，很難或根本不可能得到其解析形式的解，因此，在教授給學生如分離變量法、格林函數(shù)法以及保角變換法等內(nèi)容的同時，數(shù)值方法也是必不可少的環(huán)節(jié)。在設計的教學實驗里，利用MATLAB環(huán)境下的PDETOOL工具箱，可以教授同學們掌握以有限元法為代表的數(shù)值方法。由于是圖形界面，所以同學們上手很快f但需要根據(jù)問題的邊界、方程的類型設置各種參數(shù)，所以學生必須熟練掌握三類邊值問題、三種數(shù)理方程以及所謂的施圖姆一劉維爾本征值問題。當實驗內(nèi)容是結(jié)合教材上的例題進行時，同學們會非常驚訝于解析法的繁瑣以及數(shù)值方法的簡便、功能的強大，從而會以更大的熱情投入到學習當中去。

例：在矩形域-0.5＜x＜0．5，-0.5＜y＜0.5上求解2u?=Δ，且u在邊界上的值為零。

利用偏微分方程下具箱求解過程如下：

1.啟動偏微分方程求解界面。

2.在MATLAB命令窗口中輸人pderect([-0.5 0.5 -0.5 0.5])，選擇Boundary Remove All Subdomain Borders菜單項，得出偏微分方程的求解區(qū)域。

3.單擊偏微分方程界面工具欄中的PDE圖標，選擇其中的Parabolic選項，將給定的偏微分方程的參數(shù)輸入到該對話框中。

4.邊界條件由Boundary菜單下的Specify Boundary conditions確定，輸入邊界條件h=l，r=0。

5.單擊工具欄等號按鈕，得到偏微分的解，單擊圖形設置按鈕，得出圖形。

（六）MATALAB在數(shù)學物理方法中其它方面的應用

1.泰勒級數(shù)展開

復變函數(shù)的泰勒級數(shù)展開也是“數(shù)學物理方法”教學中的一個重要內(nèi)容。應用MATLAB的符號工具箱也可以進行泰勒展開。比如，使用taylor(f，m，a)函數(shù)就可得到f(x)在a點的m階泰勒級數(shù)展開式。另外，MATLAB里面還提供了一個圖形化的泰勒級數(shù)展開工具——TAYLORTOOL，利用這個工具，同學們可以非常直觀地看到函數(shù)及其泰勒級數(shù)展開之間的關(guān)系，也可以動態(tài)調(diào)整輸入函數(shù)和參數(shù)，非常生動。這種交互性可以大大加深對級數(shù)展開的理解。

2.部分分式展開

部分分式展開在復變函數(shù)里面也占有非常重要的地位，利用它可以對某些復變函數(shù)進行洛朗級數(shù)展開，可以利用其來計算留數(shù)，也可以利用它來進行拉普拉斯變換的反演等。在MATLAB里面，專門提供了部分分式展開的命令，如[r，p，k]=residue(b，a)、[r，p，k]=residue(b，a)等。通過簡單的指令，同學們自己就可以驗證題目的正確與否，從而有了學習的成就感，主動性也增加了。

以上簡單的介紹了一些數(shù)學物理方法中的問題怎樣用MATLAB來解決。在不斷的學習實踐中，我們發(fā)現(xiàn)我們應該處理好“數(shù)學物理方法”和MATLAB以下方面的一些關(guān)系，才能更好的掌握所學的知識。

（七）使用MATLAB解數(shù)學物理方法中的體會

1.認識主客體

在教學過程中，應堅持以數(shù)學物理為主，MATLAB為輔，千萬不能把數(shù)學課變成計算機語言課，“體腦倒掛”、主次不分。因此，無論是課堂演示、課外作業(yè)還是數(shù)學實驗，都必須緊密結(jié)合教材內(nèi)容，做到有的放矢。要求教師在課前必須做好充分的準備，每一個實例、每一個程序都要精心設計。另外，學生不能依靠計算機語言來完全替代理論的計算過程。我們需知道MATLAB只是驗證理論、計算的一種工具。

2.充分調(diào)動學習的熱情

由于課程內(nèi)容困難，絕大多數(shù)同學都會對教學內(nèi)容有恐懼心理。因此，必須利用MATLAB的強大圖形處理能力及易用性消除大家的恐懼，增加其學習的動力。每次演示的時候，向同學們展示相關(guān)內(nèi)容的最優(yōu)美的部分，如動畫、三維圖像、圖像的拖曳、聲音背景等，從而吸引廣大同學的眼球，提高學習的主觀能動性。另外，往屆同學所編制的一些樣本程序同樣可以打破同學們的恐懼心理，提高其自信心。

3.抓住學習的本質(zhì)

盡管MATLAB語言非常簡單，但教授學生掌握還是需要一個過程。因此，必須掌握一個尺度，使用正確的教授方法。我們的經(jīng)驗是采用演示的形式，教會基本操作、基本命令，結(jié)合具體的例子進行編程。更重要的是，同學們必須學會使用MATLAB強大的聯(lián)機幫助功能以及聯(lián)機演示程序所給出的實例。事實上，MATLAB里面包含眾多的工具箱。任何一門課程都無法教會同學們精通所有的內(nèi)容，只有教授大家熟練掌握了自學的本領(lǐng)，才是學習這門語言的捷徑。

4.結(jié)合各種方法，提高學習效率。

除了常規(guī)的教學方法外，在利用MATLAB輔助教學的過程中，作者也試用了基于問題的學習方法等。比如，在特殊函數(shù)繪圖以及數(shù)值計算方法的實驗中，要求廣大同學自己學習命令，繪制教材上的曲線，求解書本上的例題或作業(yè)；在這個過程中，鼓勵同學們發(fā)揚團隊精神，利用集體智慧解決問題；鼓勵“頭腦風暴法”等的使用。這些方法的應用，一方面挑戰(zhàn)了同學們的智力，一面提升了其合作精神，是學習數(shù)學物理方法、學習MATLAB語言的有效途徑。

（八）結(jié)束語

利用MATLAB軟件輔助進行“數(shù)學物理方法”的教學，形象、直觀，且操作簡單、易于掌握。在高校辦研究室網(wǎng)上調(diào)查中，對于本門課程的教學，各項考核內(nèi)容均為優(yōu)秀，客觀反映了同學們對這種方法的認可。筆者認為今后的工作還將涉及以下方面的內(nèi)容：MATLAB在數(shù)學物理方程求解方面的應用、MATLAB中有限差分法的應用等。另外，對于數(shù)學實驗，也需要進一步的擴充，并考慮增加同學們的自行設計并驗證數(shù)學物理方法實驗的內(nèi)容。

[1] 伍新春,等.高等教育心理學[M].北京:高等教育出版社,1999.

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O411.1

A

1008-1151(2011)06-0136-03

2011-04-20

譚少軒（1986－），男，陜西寶雞人，西安電子科技大學理學院在讀研究生。