對假設檢驗的教學探討

蒲 冰

對假設檢驗的教學探討

蒲 冰

著名的統計學家Fisher曾經指出經典的數理統計學就主要包括三個方面的內容：抽樣分布、參數估計和假設檢驗，而假設檢驗的學習一向是數理統計的重點和難點。針對眾多學生在學習的過程中總是機械性地去記憶檢驗統計量和拒絕域的具體表達式這一現狀，本文就假設檢驗教學過程中的一些心得體會進行了總結并探討了在教學過程中培養學生的創新思維和獨立思考能力的途徑。

顯著性檢驗；拒絕域；小概率事件原理；檢驗統計量

隨著社會的進步以及科技的發展，數理統計知識得到了廣泛地應用，參數估計與假設檢驗是統計推斷中兩大基本問題，特別是假設檢驗問題，一向是統計學習的重點和難點，大多數學生在學習過程中總是機械性地去記憶和背誦各類檢驗統計量和拒絕域的具體形式，卻忽略了統計思想的培養與統計方法的掌握，從而導致了“舉一不能反三”的學習效果。實際上，假設檢驗是建立在實際推斷原理的基礎上并根據樣本對總體做出判斷的一類統計方法，教學大綱中對假設檢驗教學目的的闡述是：使學生了解顯著性檢驗中的基本概念，如原假設與備擇假設、檢驗統計量、臨界值、拒絕域、兩類錯誤、顯著水平等，理解其基本的統計思想，掌握構造拒絕域的基本方法以及假設檢驗的基本步驟。因此，在本文結合假設檢驗教學過程中筆者的一些心得體會來分析如何通過啟發式教學方法去幫助學生樹立主動思維與統計思想的途徑。

一、原假設與備擇假設

假設檢驗問題在現實生活中有著廣泛的應用，考慮如下實際問題：

例一：某面粉廠用一臺包裝機包裝所生產的面粉，所包得的面粉重量為一隨機變量且服從正態分布，當機器工作正常時，其均值μ為0.5公斤，標準差σ為0.015公斤。某天開工后為檢驗機器是否正常，隨機地抽取了9袋面粉，稱得凈重如下：

0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

問當日機器工作是否正常？

在該問題中，根據題意可知面粉重量這個隨機變量服從的分布是正態分布，即 X～N(μ,σ2)，而由我們的長期經驗可知分布中的標準差σ是一個比較穩定的量，即不管機器工作正常與否，其標準差σ都可視為0.015。于是，面粉袋重量上的差異則主要是由總體均值μ所引起的，因此，判斷當日機器工作正常與否就等價于判斷其均值μ是否等于0.5，若均值μ等于0.5，則認為當日機器工作正常，否則認為機器工作不正常。在此基礎上，提出如下相互對立的假設：

H0:μ=μ0=0.5(原假設） H1:μ≠μ0（備擇假設）

值得注意的是，在習慣上我們總是將預期出現的結果或影響較大的結果置于原假設的位置上，而備擇假設的含義是當原假設被拒絕后還可供我們選擇的假設，原假設與備擇假設是一對相互矛盾的關系，它們構成了樣本空間的一個劃分。于是，我們下面的任務就是根據樣本判斷是否接受原假設。

二、兩類錯誤與顯著性檢驗

接下來，教師應引導學生思考如下問題：如何利用上述例子中的樣本去衡量均值μ的大小并在此基礎上判斷當日機器工作是否正常呢？我們知道得到樣本的均值總是在總體的均值附近波動，回顧估計量的評判標準可知，樣本均值X是總體均值μ的一個無偏估計，因此，其中一個很自然的想法便是用觀察值x去衡量μ的大小，即考慮差異|x－0.5|，若當日機器工作正常，則|x－0.5|就不能太大；反之，|x-0.5|過大，則我們認為當日機器工作不正常，μ已經不再是0.5了。基于上述分析，問題的關鍵便是找到一個常數k，使得當(|x-0.5)|〉k時，就否定原假設；而當(|x-0.5)|〉k時，就接受原假設。

此時，教師應引導學生思考法則中k的取值的問題，由于常數k是事先給定的一個標準，若k取得過大，則總是趨于接受原假設，反之，若k取得過小，則總是趨于拒絕原假設，即k的取值沒有一個一成不變的通用標準。因此，如何合理確定法則中k的取值大小并考慮上述法則判斷失誤的概率大小是本文所要解決的核心問題。經過上述的初步分析，學生將會帶著問題與思考進入下一環節的學習。

為了幫助學生理解假設檢驗中的兩個重要概念：兩類錯誤與顯著性檢驗，考慮如下例子：

例二：某同學體質較弱，若淋雨則易患感冒，因此相對于天晴而言，該同學更關注下雨的情形，因為下雨所帶來的后果更為嚴重。由第一部分的分析可知，下雨是本例的原假設。此外，對于該同學而言，難免會出現天晴帶傘與下雨不帶傘的情況。分析到此，教師應向學生提問，請從統計角度思考天晴帶傘與下雨不帶傘是否是同一類錯誤，如若不是，請指出其中的區別。

這樣一來，自然就引出了兩類錯誤的概念，由于我們總是依據樣本來做出決策，因此總有決策失誤的可能，而這樣的錯誤分成兩類，分別是第一類錯誤：當原假設為真時拒絕原假設（下雨不帶傘）與第二類錯誤：當原假設不真時接受原假設（天晴帶傘）。此時，教師需向學生提出問題：這人如何減少犯第一類錯誤和第二類錯誤的概率呢？

顯然，為了盡量不被雨淋，此同學可隨身帶傘，但這樣一來就增加了犯第二類錯誤的概率；同樣，為了方便起見，此同學也可不帶傘，但這樣又增加了犯第一類錯誤的概率。這也就說明，當樣本量固定的時候，減少犯一類錯誤的概率往往以增加犯另一類錯誤的概率為代價。此時，教師應進一步設問：如何解決這樣的矛盾呢？在此基礎上就自然的引出了顯著性檢驗的定義：在實際中，我們總是選擇控制犯第一類錯誤的概率，使其小于等于α，而對犯第二類錯誤的概率不加以考慮，稱這樣的檢驗稱為顯著性檢驗，而α被稱為顯著性水平。

教師需向學生強調如下幾點：首先，顯著性水平α是用來控制犯第一類錯誤的概率的，其取值根據實際問題而定，α通常取為0.01、0.05等；其次，顯著性檢驗的理論依據是 “小概率事件原理”，當α取為0.01時表明事件在100次實驗中僅能夠發生一次，原則上在一次實驗中事件是不可能發生的，但如若真的發生了，則我們有理由懷疑原假設的正確性從而拒絕原假設；再次，由于原假設總是我們預期出現的結果，因此，拒絕原假設要謹慎，所以α的取值通常很小。

三、檢驗統計量與拒絕域的導出

四、總結

針對傳統的統計教學總是教師單反面灌輸，學生總是被動接受的實際，本文以假設檢驗的啟發式教學為例并結合日常生活中的實際例子，不僅向學生介紹了顯著性檢驗中的基本概念，還重點闡述了假設檢驗問題背后的統計思想。“教為不教，學為創造”，這也就是說，教師的教學不僅要向學生傳授學科知識，更為重要的是培養學生主動學習、思考的學習方式。學生是學習的主體，但教師卻是學習的主導，在實際教學環節中，這就要求授課教師要做到充分備課并熟練掌握教材中的內容，能夠準確的把握重點和難點，對重難點內容既要能夠擴展引申，也要能夠深入剖析。此外，授課教師還必須對重點問題做好總結歸納，將理論與實際問題相結合，結合案例教學的方式，最大程度上調動學生的學習積極性，培養學生創新思維。

[1]盛驟等.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]茆詩松，王靜龍.數理統計[M].上海：華東師范大學出版社，1986.

[3]茆詩松等.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，2000.

G710

A

1673-1999（2011）02-0193-02

蒲冰（1963-），重慶工業職業技術學院（重慶401120）工商貿易系講師，研究方向為經濟管理。

2010-11-04

2010年度重慶市高等教育教學改革研究項目 “會計電算化專業課程體系與教學內容整體優化研究與實踐”（項目編號 103475）。