考慮停車視距的優化速度函數

宋 濤, 董力耘, 鄺 華, 李興莉, 戴世強

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072;2.廣西師范大學物理科學與技術學院,廣西桂林 541004;3.太原科技大學應用科學學院,山西太原 030024)

考慮停車視距的優化速度函數

宋 濤1, 董力耘1, 鄺 華2, 李興莉3, 戴世強1

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海 200072;2.廣西師范大學物理科學與技術學院,廣西桂林 541004;3.太原科技大學應用科學學院,山西太原 030024)

在分析優化速度函數性質的基礎上,提出有理函數型優化速度函數的一般表達式.該函數以曲線拐點對應的臨界間距為特征控制參數,并能構造非凹基本圖.利用臨界間距的重尺度化關系式,采用停車視距構建一種新的優化速度函數,以表征人-車-路環境交互影響下的司機駕駛行為.與其他優化速度函數對比分析后可以發現,新的優化速度函數能夠更好地反映與駕駛行為關聯的流密關系數據散布、通行能力變化等實際交通特征.

優化速度函數;非凹基本圖;臨界間距;停車視距;駕駛行為

1995年,del Castillo等[1]提出了由速度-密度(簡稱速密)關系曲線描述的幾類函數形式,并據此給出了構建凹的基本圖的方法.但直到目前為止,尚未有關于構建非凹基本圖以及同時描述 S形速密和速度-間距 (簡稱速距)關系曲線的普遍方法.這里“非凹基本圖”是指流密關系函數不僅是凹函數形式的基本圖,也并非單純的凸函數.以前研究的基本圖通常是凹的,而非凹基本圖中存在拐點,使得函數的凹性發生變化.表現在中小密度范圍內呈現凹性,大密度范圍內呈現凸性.本研究分析了優化速度函數的數學性質,提出以 S形曲線拐點對應的臨界間距為關鍵控制參數的函數形式,依此構建一類優化速度函數簇,并同時獲取非凹基本圖.將臨界間距重尺度化為停車視距后,新的優化速度函數能夠反映交通流受到人-車-路交互環境的影響情況.對比分析正常和限速路況下速距和流密關系曲線,并考慮司機的駕駛行為可以發現,新的優化速度函數既能反映經驗觀測中的流密關系形狀,又可描述數據散布、道路通行能力變化等多種交通現象.

1 優化速度函數的數學性質和新的函數表達式

目前,在優化速度類模型中,一般使用 S形曲線的速距關系函數又稱優化速度函數 (optimal velocity function,OVF)來構造非凹基本圖.針對高速路交通流建模,常見的有兩類優化速度函數:一類是 Bando等[5]根據日本高速公路實測交通數據提出的 tanh型函數

另一類則是Mahnke等[9]對比德國高速公路的實測交通數據[8]提出的二階 Hill型函數

式中,h為車頭間距.優化速度函數 Vopt(h)反映了車輛在定常均勻態下,速度與 h之間的單值映射關系.

研究表明[1,7,10-13],優化速度函數必須滿足以下數學性質:

③存在 hstop＞lc的某個值,使得 h∈[0,hstop]時,Vopt(h)≡0;

④當 h＞hstop時,Vopt(h)＞0且有界;

⑤當h＞hstop時,V′opt(h)＞0,即Vopt(h)是關于h的單調遞增函數;

⑥存在 hI＞hstop的某個值,使得 hstop＜h＜hI時,V″opt(h)＞0,而h＞hI時,V″opt(h)＜0.

上述 5點性質中:vmax表示 OVF的上界值,由車輛自身和當前路況同時決定;hstop表示堵塞車頭間距,對應于現實的特征堵塞密度ρjam,其值大于車長lc.OVF的單調性和可微性則可表征交通流中連續光滑過渡機制的可能存在性[1].近期,眾多研究人員[7,10-12]指出:性質⑥是優化速度函數必備的,即OVF必須是 S形曲線,(hI,Vopt(hI))為其拐點.V′opt(h)在h＞hstop時,僅有一個最大值V′opt(hI),這樣就可根據模型的穩定性判據,劃分“穩定→不穩定→穩定”三個連續的交通區域,從而能夠自發地產生穩定的時停時走波或扭結反扭結波.對于 S形的OVF,其關鍵參數 hI通常認為是車輛之間是否產生相互作用的特征距離,這也意味著在車頭間距處于hI附近時,司機駕車很難維持穩定車速 Vopt(hI),從而產生不穩定性.因此,本研究中稱 hI為臨界間距(critical headway).目前,OVF中的臨界間距是通過數據擬合的手段來確定的[5,9],且僅在 tanh型優化速度函數中顯式表達,即式 (1)中的“25”.

經過研究發現[13],可以通過有理函數顯式表達臨界間距作為控制參數,這樣便可據此構建新的OVF表達式,并預期獲得非凹基本圖.不妨令 h^-1=(h-hstop)/hstop,即選取特征長度 hstop無量綱化 h.不失一般性,期望的優化速度函數可記為

式中,n＞1且為整數.為了便于分析,有以下假設:

(3)令 aj=bj=0,j=1,2,…,n-1,且記 D:=b0/bn(b0,bn＞0),則 VRopt滿足 OVF的數學性質④,⑤和⑥.

另外,由式 (6)可知,vmax,hstop和 hI為量綱控制參數,其中 vmax和 hstop一般被視為交通流的特征參數,可取定值[1],而 hI的取值可由數據擬合的方法確定[5].本研究則給出另一種解決方案,即采用一種特征距離重尺度化的方法確定臨界間距 hI的數值.

2 臨界間距的重尺度化和停車視距

臨界間距可視為車輛從相互作用轉變為非相互作用的一種特殊的“距離長度”[5,7,9].由于車輛的行駛受到司機以及道路環境的影響,臨界間距是人-車-路環境下司機駕車行為的一種表征,與司機的駕車特性和習慣密切相關.

眾所周知,司機通常會保持一個安全行車距離.以當前車速行駛的車輛在到達前方的“固定物體”之前安全停車的距離稱為停車視距[2-3](stopp ing sight distance,SSD).SSD由感覺-反應距離 dr:=v0τ和制動距離組成,其中τ為司機的感覺-反應時間(percep tion-response time,PRT),v0為司機在感覺接受信息時的車速,G為車輛的自身重量,Gb為配備制動器閘的輪軸所能支撐的重量,g為重力加速度,μ為車輛輪胎與道路表面的摩擦系數.可以看出,停車視距依賴于車速、司機駕駛行為以及道路和車輛自身性能的特征長度.

這里需特別指出的是,PRT作為交通流理論中描述司機行為的一項關鍵參數,之前一直是作為常值被引入微觀交通流建模的[2-3,5,7].但近期的研究發現[3,14],PRT事實上是一個時變量,不存在用一個所謂較好的常值來代替.針對各類行車事件以及司機的生理和個性差異,PRT的取值是變化的,統計后的典型值也各不相同,例如高預期性事件的 PRT為0.70～0.75 s,意外物體和突發事件出現時的 PRT分別為 1.57和 2.45 s,最大的正常的 PRT也會高達6 s.因此,正常的 PRT取值范圍[3]為τ∈[0.5,6],故此也有關于采用隨機變量形式 PRT的交通流建模研究[15].

另外,制動距離 db中的一個重要控制參數為摩擦系數μ,它主要受車輪的結構和材料以及道路表面形狀與材質影響,天氣條件變化對其的影響也很大.一般建議的取值為干燥水平道路μ=0.65,潮濕水平道路μ=0.35[2-3].

工程上為了保證安全性,取 v0=vmax和G=Gb來計算 SSD[2-3],因此 ,有

式 (8)滿足人們考慮發生的“最壞可能情況”.

通過對一系列優化速度函數進行比較分析可知[13],臨界間距一般為堵塞車頭間距的 2～5倍,即13～50 m量級,這與實際交通流情形吻合.但是,直接將式 (8)作為臨界間距的計算公式引入式 (6)是不合適的,因此,需要先將 SSD重尺度化.

假設停車視距和臨界間距的重尺度化關系為

式中,m＞0且為有理數.考慮上述 hI與 hstop的倍數關系,可用不等式

表征停車視距與特征參數 hstop之間的尺度聯系.用重尺度化的 SSD代替式 (6)中的臨界間距,從而得到一類可表征駕駛行為的優化速度函數.

3 考慮停車視距的優化速度函數

由于引入了停車視距作為重尺度化的臨界間距的表征,可以在一定程度上表示司機在人-車-路環境交互作用下的一種駕駛行為.我們將這種表征駕駛行為(driving behavior,DB)的優化速度函數稱為DBOVF,其具體表達式為

式中,停車視距的計算公式見式 (8).考慮到有三次可微性質的 OVF具有持續研究的可能性[7,11-12],我們選擇 n=3,根據式 (10),可確定 m=1.8.其他參數建議取值[1]分別為m.下文就 PRT是統計平均意義上的固定值情況進行分析,取正常行駛條件下司機的感覺-反應時間τ=1.5 s[2-3,12,14],μ為 0.65和 0.35分別對應普通和低摩擦路況情形.對限速情況的 OVF和 FD也進行了詳細的對比討論,而對 PRT為時變量的情況以及與OVF相關的動力學模擬研究,則另文專述[13].

圖 1綜合顯示了正常和限速條件下以及經過參數標定的優化速度函數的比較結果.我們分別就優化速度函數和基本圖進行對比分析,其中正常路況下 vmax值取 33 m/s,限速條件下 vLmax值取25 m/s.從圖1(a)可以看出,DBOVF在普通路面上的表現和Bando OVF接近一致,特別是在 20～30 m處曲線重合,在 48 m處達到 vmax值的 95%,在稍大于41 m處分別達到 vmax值 95%的 Bando和 Mahnke OVF.另外,在低摩擦力路面上,由于考慮駕駛安全,DBOVF的取值整體上低于正常路面行車速度,這和我們預期的一致.圖 1(b)則給出了關于流量的宏觀量級比較,顯然,DBFD也能正確預測道路的實際通行能力,在密度為 30 veh/km時流量達到最大值 2 632 veh/h,略低于 Bando基本圖預測的在 29 veh/km處達到最大值 2 785 veh/h.而Mahnke基本圖由于標定時僅和暢行交通的數據一致,沒有擁擠交通數據的驗證,因而無法合理預測擁擠交通范圍內的速度和流量.整體而言,對于普通高速路的流密關系,三類基本圖的表現在自由流區域一致,而低摩擦力路面的DB基本圖整體小于正常路面的現象也符合常理.在正常路面條件下,Bando和 DB基本圖均顯示流量在各自的ρjam密度的 20%處達到最大,而低摩擦力路面的臨界密度小于此值主要是由于安全駕駛導致的制動距離增大的緣故.

文獻[5]建議在限速情況下采用小參數修正OVF的方法,即圖 1(c)和 1(d)中的Bando與Mahnke的優化速度函數就是這樣描述的,而 DBOVF則直接使用了 vLmax替代原有的 vmax,不過需注意 SSD中的 vmax也要同時被替換.為了合理反映司機的 PRT變化,取 0.7,1.5,2.5 s依次表征司機在高預期性事件、突發事件以及安全行駛下的PRT值.另外,為了反映由于天氣變化的影響而引起的限速,我們也考慮了潮濕和干燥路面摩擦系數的變化.圖 1(c)顯示了一系列速度變化的結果,可以看出,司機在緊張的高預期心理活動下,速度值均偏高,反映了小尺度的PRT具有促使司機加快行程的作用.而基于安全因素的考慮,司機在潮濕路面上駕車時會小心翼翼,速度值偏低,反映了司機針對天氣變化對路面的影響和車輛制動考慮下安全駕駛的行為.

圖 1 正常路況和限速條件下優化速度函數以及基本圖的對比Fig.1 Compar ison of optimal veloc ity functionsand fundam ental d iagram s under normal and speed lim it road cond itions

圖 1(d)刻畫了限速條件下基本圖的變化.基本圖反映了直接用小參數修正原有 OVF可能存在過多折減通行能力的弊端.一般而言,限速會增大司機的 PRT,這是由于駕駛員需要更多時間判斷限速區的路況[3].限速區的臨界密度會增大,這也是由于司機謹慎駕駛造成的,DBOVF能很好地預測該現象.即使不考慮道路摩擦系數的變化,我們也可以看出,在限速時考慮不同 PRT值的 DBFD涵蓋了密度為 20～100 veh/km的二維區域,這與實測的流密關系在中高密度值范圍的數據散布現象一致,說明僅考慮司機的駕駛行為也可以導致流密數據散布的結果,補充了現有基本圖僅為單值曲線,不考慮人類行為的唯一平衡態的認識.事實上,Bando FD曲線的大部分區域也是落在DBFD的范圍之內的.此外,我們也可看到,PRT值的降低即司機的反應速度加快,可以增大臨界密度值從而提高道路流量,這是符合經驗觀測結果的.

需要特別指出的是,優化速度函數式 (11)的指數集 (n,m)并非僅有 (3,1.8)一個選擇.在考慮仍然使用停車視距重尺度化臨界間距的情況下,指數集 (n,m)選擇為 (2,1.2)也可以得到很好的結果[13].如要考慮利用現有標定的臨界間距數值,例如 Bando OVF中的 25 m,則使用式 (6),選擇 n=5和 hI=25 m同樣有令人滿意的結果[13].因此,完全可以利用式(6)構建一類優化速度函數簇在實際情況中使用.例如,對于現今使用高摩擦系數路面-彩色防滑路面作為新型交通管理方式的交通流建模,采用考慮停車視距優化速度函數的微觀模型已預測出其他模型不能正確模擬的交通波速降低和堵塞消散現象[16].

4 結 束 語

本研究通過分析優化速度函數的數學性質,從有理多項式函數出發構造了一類以臨界間距為關鍵參數的優化速度函數,并給出了一般函數表達式.據此,提出了以臨界間距為特征參數構建優化速度函數且獲取非凹基本圖的方法.隨后利用重尺度化的方法,將臨界間距表述為停車視距的概念,以表征司機在人-車-路環境交互影響下的駕駛行為.考慮停車視距的優化速度函數在與經典的優化速度函數的比較中顯示了一定的優越性,并且一系列圖譜刻畫了因司機心理活動不同而產生的對優化速度和基本圖的影響,彌補了以往單值平衡態基本圖因不考慮人的因素而無法準確預測流密關系數據散布的缺陷,加深了人們對交通流的認識.

致謝:感謝孟劍平博士對本研究工作給予的研究建議和積極討論.

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Optimal Velocity Function Consider ing Stopp ing Sight D istance

SONG Tao1, DONGLi-yun1, KUANGHua2, L IXing-li3, DA IShi-qiang1
(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China;2.College of Physics and Technology,GuangxiNormal University,Guilin 541004,Guangxi,China;3.School of App lied Science,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,Shanxi,China)

Thispaper dealsw ith the op timal velocity function for traffic flow,characterized by a rational function form.The critical headway is taken as the control parameter and used to establish the nonconcave fundamental diagram.A new optimal velocity function considering stopping sight distance is proposed to describe human driving behavior in the driver-vehicle-road environment by rescaling the critical headway.Compared with other classical optimal velocity functions and related fundamental diagrams,the new function has advantages in explaining real traffic features such as scattering densitydependent flow data and variable highway capacity.

optimal velocity function;non-concave fundamental diagram;critical headway;stopping sight distance;driving behavior

O 29

A

1007-2861(2011)02-0147-06

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.008

2010-10-19

國家重點基礎研究發展計劃 (973計劃)資助項目 (2006CB705500);國家自然科學基金資助項目 (10532060,10962002,10902076,10972135);山西省自然科學基金資助項目(2010011004);上海大學研究生創新基金資助項目(SHUCX080161)

董力耘 (1971～),男,副教授,博士,研究方向為交通流理論.E-mail:dly@shu.edu.cn

(編輯:孟慶勛)

流量-密度 (簡稱流密)關系曲線又稱基本圖(fundamental diagram,FD),其形狀和性質一直是交通流理論研究中的基本問題.傳統研究[1-3]認為,流密關系函數應是凹的,即流量函數 Q″(ρ)≤0.但 20世紀 90年代中期,Kerner等[4]和 Bando等[5]分別通過對宏觀連續介質模型以及微觀優化速度模型的研究,認為基本圖的凹性變化是振蕩波形解產生的充要條件[6-7].近期的交通實測同樣證實了基本圖可能存在凹性變化的性質[5,7-8].