基于DEA的模糊點數(shù)據(jù)回歸分析

彭 煜，張興娟，賀 唐，陳思穎，盛文文

（西南科技大學 經(jīng)濟管理學院，四川 綿陽 621010）

基于DEA的模糊點數(shù)據(jù)回歸分析

彭 煜，張興娟，賀 唐，陳思穎，盛文文

（西南科技大學 經(jīng)濟管理學院，四川 綿陽 621010）

對每個訓練數(shù)據(jù)的DEA有效值作為它的模糊隸屬度，以表示訓練數(shù)據(jù)對總體的貢獻程度。從DEA的視角，獲取模糊點數(shù)據(jù)，得到了基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘估計，及其一些優(yōu)良的統(tǒng)計性質。利用平均相對貼近度，給出了一個評價模型擬合效果的準則。通過數(shù)值實例的計算比較，表明了該方法的有效性。

數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）；模糊點數(shù)據(jù)；平均相對貼近度；回歸分析

1 模糊點數(shù)據(jù)

在經(jīng)典回歸分析中，認為所有數(shù)據(jù)點對擬合曲線的貢獻是相同的，但在很多實際問題中，每個數(shù)據(jù)對總體來說具有不同的意義，有些數(shù)據(jù)相比于其他數(shù)據(jù)來說顯得更重要。

假設x是k維預報變量，Y是一維響應變量，(xj,yj)是訓練樣本。在這里我們給每個訓練數(shù)據(jù)賦予一個模糊隸屬度 θj（0≤θj≤1），將其認為是對應的數(shù)據(jù)點對總體的重要程度。稱((xj,yj),θj)為 Rk+1中的模糊點，定義{(xj,yj),θj：j=1,2,…,n}為模糊點集。

設n個決策單元DMUj，j=1,2,…,n。每個DMUj都有k種輸入 Xj=(x1j,x2j,…,xkj)，s 種輸出 Yj=(y1j,y2j,…,ysj)，評價 DMUj0(xj0,yj0)相對有效性的BCC模型為：

其中θ為決策單元DMUj0的相對有效性值，把θ作為隸屬度，賦予決策單元所對應的訓練數(shù)據(jù)。

2 基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘回歸

2.1 最小二乘回歸

假設有一個k維輸入向量X=(x1,x2,…,xk)，用下面的模型預測輸出Y：

其中β0,β1,…,βk是待估計的未知參數(shù)。對于訓練數(shù)據(jù)集{(xi,yi);i=1,2,…,n}，其中 xi=(xi1,xi2,…,xik)t，它們滿足：

其中 X,Y,β,ε 分別是：

誤差項 εi，i=1,2,…,n，滿足 Gauss-Markov 假設。

記e=Y-Xβ，選擇系數(shù)β以最小化殘差平方和：

2.2 基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘回歸

假設給定一個有模糊權重的訓練點數(shù)據(jù)集：

((x1,y1),θ1),((x2,y2),θ2),…,((xn,yn),θn)

給定每個訓練點xi∈Rk+1和模糊隸屬度θi(0≤θi≤1),i=1,2,…,n，構建基于模糊點數(shù)據(jù)的線性回歸模型：

其中運算“*”的定義如下：記

2.3 基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘估計的性質

類似于文獻[2]的方法，可以得到基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘估計具有許多優(yōu)良性質。

定理 2 對于基于模糊點數(shù)據(jù)的線性回歸模型 （6），在CTβ的所有線性無偏估計中，最小二乘估計贊是唯一具有最小方差的估計。

誤差向量E=θ*(Y-Xβ)，用基于模糊點數(shù)據(jù)的最小二乘估計贊代替其中的β，得到殘差向量：

因此，對于基于模糊點數(shù)據(jù)的線性回歸模型（6），用常規(guī)的方法可以證明下面的定理。

定理 4 假設誤差向量 ε～N(0,σ2I)，則有：

對于模糊點數(shù)據(jù)的回歸分析，我們定義樣本相對平均貼近度。

定義：基于模糊點數(shù)據(jù)集：

按（6）進行線性回歸。樣本的平均相對貼近度為：

它反映了模型擬合值與樣本觀測值之間的平均相對接近程度。

3 數(shù)值實例

以國內生產(chǎn)總值GDP表示產(chǎn)出，資本形成總額表示資本投入，就業(yè)人數(shù)表示勞動投入，基于1990~2007年河南省的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（來自2008年河南省統(tǒng)計年鑒），對生產(chǎn)函數(shù)進行回歸分析，分別用兩種不同的方法確定隸屬度。

方法一。線性函數(shù)方法。文獻[2]給出了確定模糊隸屬度的線性函數(shù)和二次函數(shù)方法，下面按線性函數(shù)方法確定隸屬度。對于給定的數(shù)據(jù)點序列：

其中t1≤t2≤…≤tn是數(shù)據(jù)點到達系統(tǒng)的時間。設si是ti的函數(shù)，認為最后一個點xn是最重要的并且選擇sn=f(tn)=1，認為第一個點x1最不重要并且選擇s1=f(t1)=σ。使得模糊隸屬函數(shù)是時間的線性函數(shù)：

本文中令σ=0.9，計算出對應于1990~2007年度的18個隸屬度取值如表1所示：

表1 線性函數(shù)法計算的各個訓練數(shù)據(jù)的隸屬度值

方法二。基于DEA方法確定的隸屬度。將收集到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)代人（1），并使用Matlab進行上機運算，得到的結果如表2。

表2 DEA方法計算的各個訓練數(shù)據(jù)的隸屬度值

分別將上述兩種方法得到的s、θ結果作為模糊隸屬度，對河南省1990~2007年的數(shù)據(jù)進行回歸分析，記兩種方法得到的 GDP 擬合值分別為回歸計算的結果為：

按傳統(tǒng)的方法，對原始數(shù)據(jù)進行回歸分析，得到的GDP擬合值為

記真實的GDP值為Y，對三種回歸分析的結果進行分析，分別計算如表3。

表3 三種回歸分析的殘差絕對值

從上面的計算可以發(fā)現(xiàn)，相應于1990年、1994年、1995年、1996年、1997年、2003 年、2004 年、2005年、2006 年及2007 年的數(shù)據(jù)對比來看，|都要小于，而這些年份恰好對應著較大的模糊權重。從而可以說明在模糊線性回歸中，權重越大的模糊點數(shù)據(jù)對擬合曲線的貢獻也就越大，這與文獻[2]得出的結論是一致的。殘差絕對值總量、平均相對貼近度的計算結果為：

可以發(fā)現(xiàn) Dθ

4 結論

用DEA的方法為數(shù)據(jù)確定模糊隸屬度，從DEA的角度將模糊性引入回歸分析中，是一種確定隸屬度的客觀方法。從理論分析和數(shù)值實例兩個方面，表明該方法不僅具有優(yōu)良統(tǒng)計性質，還從不同的角度進一步證明了模糊權重越大的數(shù)據(jù)對擬合曲線的貢獻越大，與其它確定隸屬度的方法相對比，基于DEA的隸屬度確定法要優(yōu)于傳統(tǒng)的確定隸屬度的方法。

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（責任編輯/易永生）

C812

A

1002－6487（2011）03－0170-03

彭 煜（1963-），男，湖南永州人，博士，教授，研究方向：應用數(shù)學，決策分析。

張興娟（1986-），女，甘肅古浪人，碩士研究生，研究方向：循環(huán)經(jīng)濟。