轉動數學中的“魔環”
——例談高中數學解題中圓的妙用

◆方長榮

(浙江省淳安縣威坪中學)

轉動數學中的“魔環”
——例談高中數學解題中圓的妙用

◆方長榮

(浙江省淳安縣威坪中學)

圓作為最簡潔完美的幾何曲線，生活中一直都被人們所推崇。我們的身邊處處都有它的影子:1500年前的雄偉的趙州橋;制作精美的圓形大鐘;田徑場彎道處的圓形跑道;還有孩子們最喜歡看的電影《魔環》……同樣，在數學習題的解決過程中，我們也能時刻看到圓的痕跡。并且它的相關知識的巧妙應用對于數學問題的分析解決起著非常重要的作用。本文主要談圓在數學解題中多方面的應用。

一、距離問題中的圓

評注:巴普洛夫說過“觀察、觀察、再觀察，觀察能導致發現”。數學解題就是一個觀察到發現的過程。此題通過畫圖和分析明確了“到點A(1，2)的距離是1的直線是以A(1，2)為圓心半徑為1的圓的切線”，把問題轉化為確定兩個圓公切線的數量。極大地簡化了運算量和解題過程，這正是我們學生所期盼的，當然會引起學生求知欲望，掌握情況自然很好。同時，教師要及時強調解析幾何的最基本的思想方法:數形結合思想，這對解決解析幾何的一般問題具有指導性意義。

為了充分挖掘此題的功能，最大程度復習考察相關知識，可以考慮將此題進行變形。

二、方程根問題中的圓

評注:根據方程特征，構造熟悉簡單的方程，逐層分解研究兩種曲線(函數)，轉化為兩個圖像交點問題。即先由數想形，再由形想數，是復雜的不熟悉的方程根個數變得清晰可辨，解題思路頓開。

三、不等式問題中的圓

四、向量問題中的圓

五、函數最值問題中的圓

上述所描述的這些問題:方程、不等式、向量、函數最值等內容幾乎涵蓋了現行高中數學的全部重點知識，而在這些習題的解決中我們都能見到一個“魔環”的影子——圓。圓的性質圖形的靈活應用使我們的解題大為簡便。在教學中，我們要引導學生充分認識圓這個“魔環”的重要作用，發揮“魔環”的魔力，切實掌握圓的相關幾何性質。因此，解決數學問題時，應當充分轉動圓這個“魔環”，設法從“形”的角度構造直觀圖形來刻劃問題的條件與結論，使錯綜復雜的各種關系變得清晰可辨，從而解決問題。事實上，這也就是數學中最重要的思想方法——數形結合的具體應用。