淺析條件概率

嚴小寶

（麗水職業技術學院 浙江 麗水 323000）

淺析條件概率

嚴小寶

（麗水職業技術學院 浙江 麗水 323000）

條件概率是概率論基礎知識中的一個基本概念,是積事件概率和全概率公式的基礎,但這一概念往往不被學生所重視,以至于影響到后面的教學效果。本文就這一概念教學進行了初步研究,并給出條件概率P（A/B）中,當P（B）=0時的一些有趣結論，旨在開闊學生的視野。

條件概率；概率；隨機試驗；事件；抽簽

在多年的概率論教學過程中,筆者感覺到學生難以清楚地理解條件概率、積事件概率、全概率公式等概念,特別是在求解有關問題時,往往無處著手,出現思維障礙,從而影響了學生的學習積極性。究其原因，基本上是對條件概率概念沒有很好地理解;在教學過程中，教師也沒有引起重視,一筆帶過,而把重點放在全概率公式上,學生處于被動的學習狀態。筆者擬就這一問題的教學作如下研究。

首先，有必要弄清楚 P（A/B），P（AB），P（A）這三者之間的區別與聯系。

一是條件概率P（A/B）與概率P（A）的區別。

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的。設A是隨機試驗的一個事件，則P（A）是在一定條件下事件A發生的可能性的大小。而條件概率P（A/B）是指在原條件下又添加“事件B發生”這個條件時，事件A發生的可能性大小，即P（A/B）仍是概率，P（A）與P（A/B）的區別在于兩者發生的條件不同，它們是兩個不同的概率，在數值上一般也不相等。（注：“事件B發生”特指讀者已經知道事件B發生，而實際上事件B往往在事件A發生之前發生，但也可以在事件A發生之后發生，如例1中求P（A1/A2A3），只是讀者還不知道事件A已發生，用P（A/B）來估計事件A發生可能性的大小。

二是條件概率P（A/B）與概率P（A）的數量關系。

條件概率P（A/B）是在原隨機試驗條件下又添加“事件B發生”這個條件時事件A發生的可能性大小，是否一定有P（A/B）≥P（A）呢？

1.當 A、B 互不相容時，A 發生時 B 不發生，則 P（A/B）=0≤P（A）；

2.當 A?B 時，P（AB）=P（A），P（A/B）=≥P（A）；

3.當A、B既不是互不相容，又不是包含關系時，因P（A/B）=大于、等于、小于 P（A）三種可能都有，如 P（A）=0.5,P（B）=0.4,當 P（AB）=0.30 時，P（A/B）=0.75＞P（A）；當 P（AB）=0.20時，P（A/B）=0.5=P（A）;當 P（AB）=0.10 時，P（A/B）=0.25＜P（A）。

三是條件概率P（A/B）與積事件的概率P（AB）的區別。

這兩個概念從形式上看是容易區分的，但對于初學者來說很容易混淆，有必要強調一下。條件概率P（A/B）是指事件B發生這個條件下事件A發生的概率，而P（AB）是指A、B同時發生的概率。因而“事件B發生”在P（A/B）中是作為條件，而P（AB）中是作為結果，所以兩者不相同。

例2：某班有男學生40人，女學生20人，通過英語六級者有15人，其中有女學生10人。在該班級中任意抽取一人，分別計算：

1.求所取的學生為女學生并且已通過英語六級的概率；

2.已知所取的學生為女學生，求其通過英語六級的概率。

解：設A=｛所取的學生已通過英語六級｝，B=｛女學生｝，則（1）為求事件 A、B 的積事件的概率（2）為求在事件B發生條件下事件A發生的條件概率

其次，要深刻理解當 P（B）＞0 時,條件概率公式 P（A/B）=的意義。

一是要從理論上推出該公式非常困難，但從事件A、B的文氏圖可直觀地解釋一下該公式，把P（A）看成為A的面積與必然事件Ω的面積的比值，那么，P（A/B）為在B發生條件下A發生的概率，可理解為AB的面積與B的面積的比值，分別除以Ω面積，即得條件概率公式可以讓學生從心理上接受它并加深印象，而公式本身已證明是成立的，只要加以說明就行，這樣可起到降低難度的作用。公式給出了計算條件概率的一種方法。

例3：某種品牌的彩色電視機使用壽命10年的概率為0.9,而使用壽命15年的概率為0.5,試求某臺電視機已經使用10年的情況下，能再使用5年的概率。

解:設B=｛電視機使用壽命10年｝，A=｛電視機使用壽命15年｝，則 P（A）=0.5，P（B）=0.9 因為 A 發生必然導致 B 發生，即B?A，P（AB）=P（A）=0.5，P（A/B）=

二是該公式的作用不僅僅用來計算條件概率，而且條件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用來計算積事件AB的概率，P（AB）=P（B）P（A/B）這就是我們所說的乘法公式。

再次，條件概率公式為全概率公式的計算奠定了基礎，從而解決了事件概率的計算問題。

一般教材都給出條件概率 P（A/B）中P（B）必須大于 0，那么當 P（B）=0 時，P（A/B）是否有意義呢？

顯然條件概率公式是不能用了，當A、B所在的事件空間Ω中的基本事件個數為有限個時，由P（B）=0，可得B所包含的有利事件個數為0個，由P（A/B）的含義得A的有利事件個數也為0個，所以，這時規定P（A/B）=0較妥當。而當Ω為無限集時，情況比較復雜。現舉例如下：

當A、B所代表的事件互不影響時 （具體情況時容易判斷的），規定 P（A/B）=P（A）；當 B?A 時，B 發生可推出 A 發生，這時P（A/B）=1；當A、B是互斥事件時，B發生時，推出A不發生，得 P（A/B）=0；當 B為不可能事件時，討論 P（A/B）實際上是無意義的，在不可能事件B發生條件下A發生的概率，這句話本身就是相悖的，但為統一起來，可定義P（A/B）=0； 當 A、B是互不包含事件時，情況比較怎復雜，視具體情況而定。

例5：質點 M隨機地均等拋擲到﹝-1，+1﹞區間上，記 A=｛質點落在﹝0，1﹞區間上｝，B=｛質點恰好落在點處｝，B1=｛質點落在-1，0，，1 這四點處｝，B2=｛質點落在﹝0，1﹞區間上的有理數點處｝，則 P（A/B）=1，P（B/B1）=，P（B1/B2）=0。

[1]楊義群.初等概率教學中定義條件概率的二個問題探討[J].教學與研究（中學數學）,1984,（4）:3.

[2]謝國瑞.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]王潘玲.應用高等數學[M].杭州:浙江科學技術出版社,2004.

[4]曹之江.現代數學優教原理探索[J].數學教育學報,2004,（2）:1-2.

G710

A

1672-5727（2011）04-0118-02

嚴小寶（1959—）男，浙江奉化人，麗水職業技術學院副教授，主要從事數學教學。

（本文責任編輯：尚傳梅）