CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統控制和同步的研究*

祝金川李成仁齊笳羽任旭東岳喜爽

CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統控制和同步的研究*

祝金川 李成仁齊笳羽 任旭東 岳喜爽

(遼寧師范大學物理與電子技術學院，大連116029)
(2010年11月14日收到;2010年12月5日收到修改稿)

以一維耦合映象格子為對象，研究了相位共軛波時空混沌系統特性．基于Lyapunov穩定性定理，通過選取耦合參數，實現了CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統的控制，以及驅動多個相位共軛波時空系統達到并行同步．數值模擬結果顯示，耦合參數對相位共軛波時空混沌系統的控制和同步速度有影響，即耦合參數越大同步時間越短．

CO2激光器，相位共軛波，時空混沌，控制和同步

PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

1.引言

混沌含有豐富的信息，受到廣泛的關注［1—4］．研究時空系統能夠解決大量的實際混沌應用問題，特別是時空混沌系統的控制和同步是該領域的一個重要研究方向．在非線性動力學系統的研究中，激光器是很好的實驗模型，是非線性科學理論理想的應用領域．近年來，Arecchi等通過調制激光器光學諧振腔內耗損，實驗上觀測到CO2激光器混沌［5］;Pecora和Caroll提出了混沌同步的思想和方案［6］;Yorke等人提出了混沌控制的原理，并很快被實驗室證實［7］;Roy等利用偶然反饋方法，實現了腔內倍頻Nd:YAG激光器的混沌控制和兩臺Nd:YAG激光器的混沌同步［8，9］．

本文利用一維耦合映像格子模型對相位共軛波時空混沌進行討論，和通過激光器附加自由度技術使CO2激光器達到混沌狀態［10］．以CO2激光器作為驅動系統，從中提取出光強的混沌信號，并與相位共軛波時空混沌產生的光強信號進行非線性耦合，并用耦合信號做為控制器對相位共軛波時空模型進行反饋控制．通過計算Lyapunov指數［11］與耦合系數的關系，確定耦合系數的取值范圍，實現了CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統的控制;同時，構造多個相同的并行相位共軛波時空系統，用同一個CO2激光器的光強信號進行驅動，使多個相位共軛波時空系統同步．

2.混沌動力學模型

CO2激光器的動力學方程為［12］

式中I是與光強成正比的量，D表示反轉粒子數密度，γc(t)為激光器腔內光場的衰減速率，γ0為穩態時光場的衰減速率，γ//表示原子能級上粒子數衰減速率，ζ是增益參數，me為調制深度，ω表示激光器的弛豫振蕩頻率．當激光器的參數取為:γ//= 103s－1，γ0=7×107s－1，ζ=2，f=ω/2π=78.8 k Hz，me=0.03時，CO2激光器呈現混沌行為，如圖1所示．圖1(a)是光強隨時間的演化圖，圖1(b)為光強的導數與光強的相圖．

圖1 (a)光強隨時間的演化;(b)光強的導數與光強的相圖

相位共軛波動力學行為［13］

式中xn為光強的映像，A為抽運參數，J0，J1分別是零階和一階Bessel函數，相應的xn表示光強的第零級反射和第一級反射．本文以光強xn的第一級散射為例來研究．光強xn的第一級散射隨參數A的分岔圖和最大Lyapunov指數曲線如圖2所示．

圖2 (a)一級散射隨參數A的分岔圖;(b)最大Lyapunov指數與參數A的關系

相位共軛波的時空混沌系統采用一維耦合映像格子模型［14］

式中n表示時間步數，i=1，2，3，…，L為空間格點坐標，ε為格點間的耦合強度，xn(i)為狀態變量，周期性邊界條件取為xn(0)=xn(L)=0．其中，局域非線性動力學系統f(xn(i))是相位共軛波系統

圖3 (a)耦合映像格子相位共軛波Lyapunov指數;(b)相位共軛波時空演化圖

式中的參數取為ε=0.03，A=36，L=100，初始條件x0(i)=2時，Lyapunov指數均為正，表明狀態處于混沌態，如圖3(a)所示;相應的時空演化圖如圖3(b)所示．

3.控制和同步的實現

3.1.CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統的控制

CO2激光器輸出光強每一秒取一個脈沖I(t)，用這個光強脈沖驅動相位共軛波振蕩器．設計一個非線性控制器，取(1)式光強的平方與(3)式狀態變量之和作為控制器，如圖4所示．

圖4 CO2激光器驅動相位共軛波振蕩器

式中k為耦合參數，(5)式加在響應系統后，響應系統方程(3)式變為

通過計算(6)式最大Lyapunov指數與耦合參數k之間的關系，以確定k的取值范圍．選取的k使Lyapunov指數為負值時，就能夠實現對相位共軛波時空混沌的控制．

數值模擬時，保持CO2激光器和相位共軛波振蕩器的參數與(1)和(4)式等相同，響應系統(6)式的Lyapunov指數隨耦合參數k在空間i=1，2，3，…，L格上的三維立體圖如圖5(a)所示．可以看到，在系統(1)的驅動作用下，響應系統(6)的Lyapunov指數面存在小于零的深谷部分．當k的取值在此部分內，則系統(6)可以穩定輸出．圖5(a)在空間格點k軸的投影為圖5(b)，能清楚的看出耦合參數k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)等范圍內取值時Lyapunov指數為負，即實現了對相位共軛波時空混沌的控制．當k=0.1時控制結果如圖6所示，顯示了xn(i)隨時空的演化趨于穩定．

圖5 (a)Lyapunov指數隨耦合參數的變化;(b)Lyapunov指數隨耦合參數變化的投影

圖6 施加控制的相位共軛波時空混沌

3.2.多個相位共軛波時空系統并行同步

如圖7所示，驅動系統仍為CO2激光器，響應系統為多個并行的相位共軛波系統，這些并行的系統與(6)式相同．當這些并行的相位共軛波系統初始條件不同時，混沌行為不一樣．當CO2激光器進行耦合控制使它們之間的輸出光強之差為零，即實現了多個并行系統的同步．本文僅以任意兩個系統為例，如相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2．

圖7 CO2激光器驅動多個并行的相位共軛波振蕩器

圖8 (a)k=0．22時誤差變量en(i)時空演化圖;(b)k=0．23時誤差變量en(i)時空演化圖

CO2激光器對它的控制器為(8)式，(5)和(8)兩式中I(t)相同．若k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)區間內取值，相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2在不同的初始值條件下，它們能夠實現同步．當耦合系數k=0.05和0.10，其他參數不變，在第300步開始對相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2加入耦合誤差en(i)=xn(i)－yn(i)，en(i)的時空演化如圖8(a)(b)所示．

相位共軛波振蕩器1形式為(6)式，CO2激光器對它的控制器為(5)式．

相位共軛波振蕩器2輸出光強信號設為yn(i)，形式為

可以看到，誤差最后趨近于en(i)=0的平面，實現了相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2之間的同步．k取值不同時，達到同步的時間也不同．k=0.05，在300步施加控制后380步達到同步，如圖8(a)所示;k=0.10，在300步施加控制后320步就能達到同步，如圖8(b)所示，要比圖8(a)更快同步，耦合參數取的越大達到同步的時間越短．

4.結論

本文分析了CO2激光器和相位共軛波的混沌特性．基于Lyapunov穩定性定理，研究了CO2激光器和相位共軛波反饋信號共同對相位共軛波的控制，使之達到穩定態;同時討論了一臺CO2激光器驅動多個相位共軛波時空混沌的并行系統，實現了在不同的初始條件下，多個相位共軛波時空混沌系統的同步．誤差函數的時空演化圖表明，誤差最后趨近于等于零的平面．從圖中可以得到耦合參數k取值不同時，響應系統達到同步的快慢也不同．k= 0.05時，系統經80步的時間達到同步;k=0.10時，系統經20步達到同步，數值模擬得出結論，耦合參數取值越大達到同步所需的時間越短．

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［13］Zhang X，Shen K 2002 Acta Phys．Sin．51 37(in Chinese)［馮玉玲、張喜和、沈柯2002物理學報51 37］

［14］LüL，L G，Cai Y 2008 Acta Phys．Sin．57 7517(in Chinese)［呂翎、李剛、柴元2008物理學報57 7517］

PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No．10804015)and the Scientific Research Fund of Education Department of Liaoning Province，China(Grant No．20062137)．

Corresponding author．E-mail:lshdy@sina．com

Control and synchronization of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system driven by CO2laser*

Zhu Jin-Chuan Li Chen-RenQi Jia-Yu Ren Xu-Dong Yue Xi-Shuang
(College of Physics and Electronic Technology，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China)
(Received 14 November 2010;revised manuscript received 5 December 2010)

Taking an one-dimensional coupled map lattice as an object，the characteristics of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system are investigated．Based on the Lyapunov stable theorem，the control of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is achieved，and the multiple phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is driven into the parallel synchronization by the CO2laser through choosing the coupling parameter．Numerical simulation results show that the coupling parameter has influence on the control and the synchronization speed of the phase-conjugation wave spatiotemporal chaos system．The greater the coupling parameter，the shorter the synchronization timeis．

CO2laser，phase-conjugation wave，spatiotemporal chaos，control and synchronization

*國家自然科學基金(批準號:10804015)和遼寧省科技廳項目(批準號:20062137)資助的課題．

E-mail:lshdg@sina．com