未預期模型誤差影響下秩減估計器的性能分析

王鼎，吳瑛

（信息工程大學 信息工程學院，河南 鄭州 450002）

1 引言

眾所周知，高分辨率算法往往受陣列誤差的影響較大，因此陣列誤差校正技術一直是國內外研究的熱點問題。關于陣列誤差校正方法主要分為兩大類：第一類是有源校正方法[1,2]，即利用方位已知的校正源對陣列誤差參數進行離線估計，該類方法雖然對算法的實時性要求較低，但對校正源的方位精度有較高要求；第二類是自校正方法[3,4]，該類方法通常將信源方位和陣列誤差參數根據某種準則進行聯合優化，可在估計信源方位的同時完成陣列誤差的自校正，并不需要方位已知的校正源，但其中聯合估計對應的高維、多模非線性優化會帶來龐大的運算量，從而使得算法的實時性和穩健性較差，全局收斂性難以保證。

為了避免陣列誤差自校正方法中存在的上述問題，一類所謂“秩減估計器(RARE, rank reduction estimation)[5～12]”引起了學者們的關注，這是因為RARE可在無需已知(預期)陣列誤差的條件下估計信源方位，基于信源方位的準確估計又可完成預期陣列誤差的精確自校正，從而能夠避免迭代運算和局部收斂等問題。例如，文獻[5,6]針對均勻線陣和均勻圓陣互耦矩陣的Toeplitz模型，提出了一種互耦自校正的RARE；文獻[7]提出了一種累量域互耦自校正的RARE；文獻[8,9]通過均勻圓陣的模式空間轉換及其互耦特性提出了一種可用于估計信源二維來向的 RARE；文獻[10]利用精確校正的輔助陣元提出了一種可用于校正“方位依賴幅相誤差”的 RARE；文獻[11,12]提出了一種可用于校正多子陣部分陣列誤差的RARE等。當(預期)陣列誤差模型滿足RARE要求時，上述方法都能取得較好效果，然而實際中可能存在一些未預期模型誤差會破壞RARE的數學模型，從而影響其參數估計精度。例如，文獻[5,6]中的均勻陣列可能存在幅相誤差，并且實際中互耦矩陣可能在Toeplitz矩陣的基礎上發生微弱擾動[13]；文獻[7]中的累量域互耦矩陣模型同樣存在上述問題；文獻[8,9]對均勻圓陣進行模式空間轉換也會帶來一定偏差[14]；文獻[10]中精確校正的輔助陣元也可能存在小的幅相誤差；文獻[11,12]多子陣中各個子陣的標稱方向可能存在小的擾動偏差[15]等。上述模型誤差都是在 RARE中所忽略的，文中將其稱為“未預期的模型誤差”。針對RARE中存在的未預期模型誤差，從理論上定量分析了RARE的方位估計性能，分別推導了RARE的方位估計均方誤差和高斯誤差模型下的測向成功概率。最后針對一種用于均勻陣列互耦自校正的RARE給出了數值實驗，用來驗證文中理論推導的有效性。

2 常用符號定義和預備數學知識

2.1 常用符號定義

為了便于文中的理論分析，這里給出一些符號定義：① d et［?］表示矩陣行列式；②［?］?表示矩陣Moore-Penrose逆；③vec(?)表示矩陣向量化算子；④ d iag［?］表示由向量中的元素構成的對角矩陣，bdiag［?］表示由矩陣或向量作為對角元素構成的塊狀對角矩陣；⑤ In表示n階單位矩陣，其中第i列向量為 ei(n)；⑥Re{?}和Im{?}分別表示取實部和虛部；⑦δkl表示delta函數，若k=l，則δkl=1，否則 δkl=0；⑧χ2(n)表示自由度為n的卡方分布；⑨ G (μ，R)表示均值(向量)為μ，方差(矩陣)為R的高斯分布。

2.2 預備數學知識

引理1[16]設隨機向量 x ～χ2(n)，則其特征函數為 φx(t)=(1 -2 it)-n2。

在引理1的基礎上可以得到如下結論。

命題1 設實隨機向量 ε ～ G ( 0 ， Rε)，其中Rε是正定矩陣，令H為半正定矩陣，并且滿足rank[H]=N，假設矩陣的N個正特征值分別為 λ1,λ2, …,λN，則二次型y=εTHε的特征函數為

證明見附錄A，命題1對于推導RARE的測向成功概率起著非常關鍵的作用。

證明見附錄B。基于命題2可得如下結論。

推論 1 設 uk，vk∈ CM×1（k= 1，2，…，K），其余符號同命題2，則有

證明見附錄C，推論1對于推導RARE的方位估計偏差起著非常關鍵的作用。

3 陣列信號模型和秩減估計器

現有一個M元陣列，其陣列流型中存在著陣列誤差，并且這種陣列誤差可分為2部分：第一部分是預期但未知的陣列誤差，并且其數學模型滿足RARE的要求；另一部分則是未預期且未知的模型誤差，在大樣本或高信噪比條件下它是影響RARE性能的主要因素。現在陣列遠場處有N個窄帶信源以平面波的方式入射，則陣列的輸出可表示為

其中，n（t）為復圓高斯白噪聲，s(t)為信源復包絡，B?=[b?（θ1，η1）b?（θ2，η2）…b?（θN，ηN）]為陣列方向矩陣，其中， b? （θn，ηn）為陣列流型向量，這里不妨將其表示為

其中，b（θn，ηn）用來表示預期的陣列流型向量，θn表示第n個信源的方位，ηn用來刻畫預期但未知的陣列誤差參數。為了滿足RARE的要求，b(θ，η)通常滿足如下等式

式中矩陣 T(θ ) ∈ CM×K僅與方位θ有關，這里不妨將其按列分塊表示為 T(θ ) = ［t1(θ )t2( θ)…tK(θ)］，而Φ （θ ,η ） ∈ CK×1表示包含預期陣列誤差參數的列向量。為了滿足RARE參數估計唯一性要求，還需要滿足條件K≤M-N。需要指出的是，在不同的應用背景下， Φ （θ， η）既可以是同時關于θ和η的函數[10～12]，也可以是僅關于 η 的函數[5～7]。另一方面，式(6)中的向量εn則表示未預期且未知的模型誤差，對于不同的誤差模型，誤差向量εn的表示形式不同。

根據式(6)可將陣列方向矩陣表示為B?=B +E ，其中B=[b（θ1，η1） b （ θ2，η2）…b（θN，ηN）]表示預期的方向矩陣，而E=［ε1ε2…εN］表示未預期的模型誤差矩陣。根據式(5)可得陣列協方差矩陣為

于是可得RARE的空域譜為

其中，ε表示由未預期模型誤差構成的實向量，它的表示形式為和εi=Im｛v ec (E)｝。由于式(10)中的π?是受到未預期模型誤差擾動的正交投影矩陣，這必然會影響RARE的方位估計性能，下文將從方位估計均方誤差和測向成功概率2個角度對其進行研究，并推導相應的理論表達式。事實上，MUSIC算法也可以看作是一種特殊的RARE，只是其中的K取1，所以文中的結論也可應用于MUSIC算法。

4 秩減估計器的方位估計均方誤差

本節將推導RARE的方位估計均方誤差，為此需要首先推導 RARE的方位估計偏差。由于文中的RARE是針對預期陣列誤差的自校正方法，因此這里假設未預期的模型誤差不會影響一階誤差分析方法的精度，并且ε是服從零均值的高斯分布。首先記wij（θ，ε）=tiH（θ）π?tj（θ），則有W（θ，ε） =（ wij（θ，ε）K×K，于是根據矩陣行列式的定義可得

其中， τ（i1， i2，…，iK）表示排列（i1， i2，…，iK）的逆序數，累加號表示對1，2，…，K的一切排列求和，它共有K ! 項構成。若令D˙（θ，ε）=?D（θ，ε ）?θ，則根據式(11)可得：

其中，w˙ki（θ，ε）=? wki（θ，ε）?θ。假設θ?m是對應于kk真實方位θm的估計值，則有D˙（θ?m，ε）=D˙（θm，0）=0，當θ?m與θm足夠接近，并且ε中的元素足夠小時，利用一階Taylor級數展開可得如下近似等式

其中，D˙（θ ，ε） =? D˙ （θ，ε）?θ，而分別表示 D˙ （θ ，ε）關于 ε（r）和 ε（i）的梯度向量。根據式nn(13)可得方位估計偏差為

式中

此外，式(15)中的φ[?]和φn(p)[?]（p=1，2 ）分別滿足下式的標量和向量函數：

式中 f （?，?）和fn(p)（?，?）的表達式見命題2。

為了簡化式(14)中的表示形式，在附錄D中將

上式的物理意義在于：在僅考慮誤差向量ε一階項的條件下，第m個信源的方位估計偏差僅由對應于第m個信源陣列流型上的誤差向量εm造成，而與其他誤差向量 εn（n ≠m）無關。定義方位估計偏差向量 Δ θ=［Δθ1Δθ2…ΔθN］T，則由式(18)可得

5 秩減估計器的測向成功概率

本節將推導RARE的測向成功概率，為了便于分析，仍假設未預期模型誤差服從高斯分布。筆者曾在文獻[17]中分析了MUSIC算法的測向成功概率，這里將基于此方法推導RARE的測向成功概率。

5.1 針對單個信源的測向成功概率

首先討論針對單個信源的測向成功概率。

定義 1[17]對于第n個信源，若滿足條件，則認為是測向成功。

上述定義中的Δθ表示角度誤差容限，根據式(18)可知，在高斯誤差模型假設條件下，Δθn是一個服從高斯分布的隨機變量，于是不難證明針對第n個信源的測向成功概率為

其中， RΔθ（n, n ）表示矩陣RΔθ的第n個對角元素，而其數值可通過查表獲得。

5.2 兩類整體測向成功概率

接著討論兩類整體測向成功概率。

定義2[17]若滿足條件則認為是第一類整體測向成功。

根據式(18)可知，若εn與εm統計獨立，則Δθn與Δθm也統計獨立，此時第一類整體測向成功概率為

若εn與εm并不統計獨立，此時第一類整體測向成功概率為

定義3[17]若滿足條件，則認為是第二類整體測向成功。

其中， H= GTD˙-2G。式(24)實質上是將表示成了高斯向量的二次型，為了計算的分布函數，可利用文獻[18]中給出的一個關于隨機變量分布函數和特征函數關系的公式：

式中，λn是矩陣的正特征值。將式(26)代入式(25)可得

至此，本節已經給出了針對單個信源的測向成功概率和兩類整體測向成功概率的計算方法，而根據文獻[17]中的討論可知：①第一類整體測向成功概率一定不大于單個信源的測向成功概率；②第一類整體測向成功概率必然小于第二類整體測向成功概率，這些結論由它們的定義方式所決定。

6 數值實驗

在給出數值實驗結果前，這里先給出以下幾點說明：①下文都是針對文獻[5,6]中提出的互耦自校正RARE所給出的數值實驗；②由于本文并未考慮有限采樣的影響，因此文中的協方差矩陣直接由式(8)產生；③這里假設未預期模型誤差服從復圓高斯分布，即滿足 E [εnεmH] =δnmσε2IM和E[εnεmT]=O；④盡管MUSIC算法也是一種特殊的RARE，但在下文的數值實驗中還是分別給出了 RARE和MUSIC算法的性能曲線，其中RARE考慮了相鄰3個陣元之間產生的互耦效應，即文中的 K= 3，其互耦因子分別為1、0.2+0.24i和-0.1-0.1i，而MUSIC算法則認為沒有互耦效應，即文中的 K=1；⑤若不做其他說明，仿真圖中分別給出了未預期模型誤差的擾動方差為-35dB和-30dB 2種情況下的性能曲線；⑥計算測向成功概率的誤差容限Δθ設為0.5o；⑦文中的所有實驗值是進行了2 000次Monte Carlo獨立實驗的結果。

6.1 針對僅存在單個信源的仿真實驗

假設陣列流型為8元均勻線陣，相鄰2個陣元間距與波長比為0.5，現僅有一個信源到達該陣列。圖1和圖2分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計均方根誤差和測向成功概率隨著信源方位(與線陣夾角)的變化曲線。

圖1 方位估計均方根誤差隨著信源方位的變化曲線

圖2 測向成功概率隨著信源方位的變化曲線

假設陣列流型為8元均勻圓陣，現僅有一個信源到達該陣列。固定半徑與波長比為1，圖3和圖4分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計均方根誤差和測向成功概率隨著信源方位的變化曲線。其余仿真條件基本不變，但固定信源方位為80o，圖5和圖6分別給出了RARE和MUSIC算法方位估計均方根誤差和測向成功概率隨著半徑與波長比的變化曲線。

圖3 方位估計均方根誤差隨著信源方位的變化曲線

圖4 測向成功概率隨著信源方位的變化曲線

圖5 方位估計均方根誤差隨著半徑與波長比的變化曲線

圖6 測向成功概率隨著半徑與波長比的變化曲線

從圖 1～圖 6中可以得到如下結論：①在上述數值實驗條件下，方位估計均方根誤差和測向成功概率的理論值和實驗值都能夠較好地吻合，從而驗證了文中理論推導的正確性；②無論MUSIC算法還是 RARE，它們的方位估計精度都隨著未預期模型誤差的增大而降低，這一結論顯然符合實際情況；③在相同條件下，MUSIC算法的方位估計精度基本優于 RARE；④對于MUSIC算法而言，當陣列是均勻線陣時，越接近法線方向信源的方位估計精度越高，而當陣列是均勻圓陣時，方位估計精度與信源方位無關，但對于RARE而言，上述性質則在局部范圍內發生一定變化，這與它們各自空域譜的特性有關；⑤對于MUSIC算法而言，其方位估計精度隨著半徑與波長比的增大而提高，但對于 RARE而言，盡管其方位估計精度總體上也隨著半徑與波長比的增大而提高，但在局部范圍內，上述性質也發生了一定變化，這同樣與它們各自空域譜的特性有關。

6.2 針對存在2個信源的仿真實驗

當存在2個信源時，由于篇幅有限，這里僅針對均勻圓陣給出數值實驗。假設陣列流型為 9元均勻圓陣，半徑與波長比為 1，現有 2個等功率信源到達該陣列，其中第1個信源方位固定為45o。圖7和圖8分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計均方根誤差隨著信源方位間隔的變化曲線；圖9和圖10分別給出了RARE和MUSIC算法的單信源測向成功概率隨著信源方位間隔的變化曲線；圖 11和圖 12分別給出了 RARE和MUSIC算法的2類整體測向成功概率隨著信源方位間隔的變化曲線。

圖7 信源1的方位估計均方根誤差隨著方位間隔的變化曲線

圖8 信源2的方位估計均方根誤差隨著方位間隔的變化曲線

圖9 信源1的測向成功概率隨著方位間隔的變化曲線

圖10 信源2的測向成功概率隨著方位間隔的變化曲線

圖11 第1類整體測向成功概率隨著方位間隔的變化曲線

從圖7～圖12中可以得到如下結論：①在上述數值實驗條件下，理論值和實驗值仍然能夠較好地吻合，從而進一步驗證了文中理論推導的正確性；②無論MUSIC算法還是RARE，它們的方位估計精度仍都隨著未預期模型誤差的增大而降低；③在相同條件下，MUSIC算法的方位估計精度仍要基本優于RARE；④對于均勻圓陣而言，無論是MUSIC算法還是RARE，它們的方位估計精度都會隨著信源方位間隔的增大而提高，并且對于MUSIC算法而言，2個信源雖然方位不同，但是方位估計精度幾乎一致，但對于RARE而言，2個信源的方位估計精度則存在一定差異，這與第6.1節中所給出的結論④相似；⑤第一類整體測向成功概率始終不會高于單個信源的測向成功概率，并且第一類整體測向成功概率始終小于第二類整體測向成功概率，這一結論符合它們的定義方式。

最后，這里通過仿真實驗驗證式(18)所呈現的一個性質，即在僅考慮誤差向量ε一階項的條件下，第m個信源的方位估計偏差僅由對應于第m個信源陣列流型上的誤差向量εm造成，而與其他誤差向量εn（n ≠m）無關。仿真條件基本同上，但是固定2個信源的方位為45o和65o。圖13給出了在固定信源1陣列流型擾動方差為-35dB的條件下，RARE和 MUSIC算法的方位估計均方根誤差隨著信源 2陣列流型擾動方差的變化曲線；圖 14給出了在固定信源 2陣列流型擾動方差為-35dB的條件下，RARE和MUSIC算法的方位估計均方根誤差隨著信源1陣列流型擾動方差的變化曲線。

圖13 方位估計均方根誤差隨著信源2的陣列流型擾動方差的變化曲線

從圖13和圖14中可以看出，當信源2的陣列流型擾動方差增大時，信源2的方位估計誤差會增大，但是信源1的方位估計精度基本保持不變，類似地，當信源1的陣列流型擾動方差增大時，信源1的方位估計誤差會增大，但是信源2的方位估計精度基本保持不變，從而驗證了式(18)所呈現出的性質，這也進一步驗證了文中理論推導的有效性。但需要指出的是，上述性質僅在一階誤差分析的條件下成立，即模型誤差足夠小以至于它的二階項可以忽略。

圖14 方位估計均方根誤差隨著信源1的陣列流型擾動方差的變化曲線

7 結束語

本文從理論上定量分析了未預期模型誤差影響下RARE的方位估計性能，分別推導了RARE的方位估計均方誤差和測向成功概率，并依據文獻[5～6]中所提出的針對均勻陣列互耦自校正 RARE給出了數值實驗。仿真結果表明理論值和仿真實驗值能夠較好地吻合，從而驗證了理論推導的有效性。文中的結論對于RARE的工程應用具有一定指導意義。需要指出的是，由于文中的推導忽略了模型誤差的高階項，因此在大模型誤差情況下的性能分析仍需要進一步研究。

附錄A 命題1的證明

式中“=d”表示等式兩邊的隨機變量服從相同的概率分布，un是對應于λn的單位特征向量，并且各個特征向量之間相互正交。當n≠m時，式(28)中的χn2（1）與χm2（1）統計獨立，這是因為而對于 2個零均值的高斯隨機變量而言，正交則意味著統計獨立。根據引理1可知，再根據相互獨立的隨機變量和的特征函數等于各自特征函數乘積這一性質可知命題1成立。

附錄B 命題2的證明

式(2)是關于E中元素一階Taylor級數展開的形式，所以僅需要證明式(3)成立即可。記向量 εn（r）和εn（i）中的第m個元素分別為 εm（rn）和εm（in），則有

進一步可得

于是有

同理可證關于 fn（2）（v，u）的等式成立。

附錄C 推理1的證明

采用數學歸納法進行證明，當 K =2時

假設當K=L時等式成立，則當 K=L+ 1時根據假設可得

將上面兩式代入式(33)中可得當 K=L+ 1時等式成立，于是推論1成立。

為了簡化問題的討論，這里僅對 K =2的情況進行證明，但其證明方法可推廣至 K ＞2的情況．當 K = 2 時，可將預期陣列流型向量表示為

于是根據正交投影矩陣的性質可得 αm1π t1（θm）+αm2π t2（θm）=0，進一步可知 π t2（ θm）= βmπt1（ θm），其中，βm=-αm1αm2。再根據等式 B?B= IN可知：

于是當n≠m時可得

進一步可知

根據式(15)可知

當n≠m時，根據式(17)和式(38)可分別推得

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