Cauchy積分公式及其導數公式證明在數學物理方法教學中的探討

趙玉杰 ，李 李 ，余春日

（安慶師范學院 a.物理與電氣工程學院；b.文學院,安徽 安慶 246011）

Cauchy積分公式及其導數公式證明在數學物理方法教學中的探討

趙玉杰a，李 李b，余春日a

（安慶師范學院 a.物理與電氣工程學院；b.文學院,安徽 安慶 246011）

本文利用實變函數積分中值定理，并結合Cauchy積分定理在復圍線推廣形式，用實變函數積分的方法證明了復變函數論中的積分公式。并用復變函數求導函數的方法和數學歸納法證明了Cauchy型積分導數公式。證明過程簡單易懂。

Cauchy積分公式；Cauchy積分定理；解析函數；數學物理方法；高階導數

Cauchy積分公式是復變函數論的重要公式之一。其重要性主要體現在：給出了解析函數的積分表達形式，即函f(z)數在圍線C內任一點z0處的函數值f(z0)可由函數沿圍線C的積分來表示。正是由于這一點，Cauchy積分公式提供了計算復積分的重要方法，它把沿圍線的積分轉化為求函數的函數值，從而簡單巧妙地解決了大量復積分的計算問題。關于Cauchy積分公式及導數公式的證明，許多參考書和文獻都涉及到[1－3]，其方法大都是從復變函數極限或導數的定義出發，證明雖然比較嚴謹，但過程較為繁瑣，在數學物理方法課程教學中，如果僅用此方法推導證明，往往難以理解。為此，我們嘗試在Cauchy積分公式證明中，將實變積分的積分中值定理，應用到復變函數積分，將復變積分問題，轉化為實變積分。對Cauchy型高階導數公式的證明，我們采用復變函數求導方法，并進行歸納，最后利用數學歸納法證明之。通過上述方法，Cauchy積分公式及其導數公式均得到了很好的證明，證明過程簡單易懂。

1 Cauchy積分公式[1-3]

定理一(Cauchy積分公式)：設圍線C為區域D的邊界，f(z)在=D+C上解析，則對于區域D內任一點 z，有：

在利用新的證明方法之前,我們先給出本文所用到的定理和公式。

2 Cauchy積分公式的證明

對于（2）式的右端，積分變量是ξ，z相對固定；且右端的積分值與γρ的半徑ρ的大小無關，即

因此我們只要證明

就可以了。

對于（4）式左端，采用換元法，將復積分變為實積分。

令 ξ=z+ρеiθ， （0≤θ≤2π）

則 dξ=iρеiθdθ

上式中被積函數 f（z+ρеiθ）屬于實變復值函數，

且 f（z+ρеiθ）=Ref（z+ρеiθ）+iImf（z+ρеiθ）

對被積函數 f（z+ρеiθ）的實部與虛部分別利用積分中值定理：

在[0，2π]上，點 ζ1，ζ2∈[0,2π]使得

3 Cauchy高階導數公式[1-3]

定理二(Gauchy高階導數公式)：設圍線C為區域D的邊界，f(z)在=D+C上解析，則f(z)區域D內有任何階導數f(n)(z)均存在，且

4 Cauchy高價導數公式的證明

分析：利用復變函數直接求導的方法，對的表達式（公式），分別求出的一、二階導數 f'(z)，f''(z)，然后根據前三項的規律，歸納出f(z)的n階導數，最后用數學歸納法證明之。

證明：由于函數f(z)對z求導時，與公式（1）中的積分變量ξ無關，因此求導時，將ξ看成常量。將Cauchy積分公式（1）在積分號下對z求導，可得：

對（6）式繼續對求導可得

再對（7）式對繼續求導可得

根據前面對求f(z)求一、二、三階導數的結果，我們可歸納出f(z)的階導數f(n)z公式為

現在用數學歸納法證明之：

但n=1時，由（6）式可知，顯然成立。

令 n=k 時，（5）式成立，即

將（9）式對 z求一次導，得

即n=k+1時，也成立。

故定理二成立。即

在講解高階導數公式時，我們首先采用對Cauchy積分公式求導的方法來得到這一公式，然后用數學歸納法證明。雖然這種做法在數學上不夠嚴謹的，但能幫助初學者熟悉和把握高階導數公式。

5 結論

本文通過利用實積分的方法對Cauchy積分公式的證明,并利用復變函數直接求導和數學歸納法,證明了Cauchy型積分高階導數公式公式。

[1]四川大學數學系.高等數學：第四冊[M].北京：高等教育出版社,1985.

[2]鐘玉泉.復變函數論[M].2版.北京:高等教育出版社，2002.

[3]吳崇試，數學物理方法[M].2版.北京：北京大學出版社，2003.

[4]同濟大學應用數學系，高等數學:上[M].北京：高等教育出版社,2002.

O175

A

1674-1102(2011)03-0038-02

2011－04－25

安徽高校省級自然科學研究重點項目（KJ2010A227）。

趙玉杰(1975－)，男，安徽安慶人，安慶師范學院物理與電氣工程學院講師,中國科學技術大學博士，研究方向為數學物理方程教學。

[責任編輯：桂傳友]