跳—擴散模型下的廣義交換期權定價

李美蓉

（合肥師范學院數學系，安徽合肥 230061）

跳—擴散模型下的廣義交換期權定價

李美蓉

（合肥師范學院數學系，安徽合肥 230061）

期權及其定價理論是目前金融管理，金融工程研究的前沿問題之一。本文在風險中性的假設下，建立了跳過程為一類特殊的更新過程時的股票價格模型，利用鞅方法得到了此模型下的歐式廣義交換期權的定價，最后列出了此模型一些特例和推廣，以及套期保值策略和交換期權在投資基金業績報酬價值中的應用。

更新過程；鞅方法；交換期權

1 引言

期權是風險管理的核心工具。期權給予其持有人（多頭方）在確定的時間，以敲定的價格買入或賣出一定數量標的資產的權利（但沒有義務）。Black F.和Scholes M.在假設市場完備和股票價格服從幾何Brown運動等條件下，推出了著名的Black－Scholes期權定價公式［1］，而獲得了Nobel經濟學獎。在這個假定下，股票價格路徑幾乎處處連續的，但實際中一些重大信息的到達（如亞洲金融風暴，911事件等）會使股票價格發生不連續的變動，即跳躍。基于此，Merton（也是Nobel經濟學獎獲得者）首先建立了股票價格的跳——擴散行為模型［2］，其中擴散過程表示股票價格的連續波動，用Brown運動（最初是用來描述液體中微小顆粒的不規則運動的，后來較多的用來描述股票等價格的運動）來刻畫，跳過程表示股票價格的不連續波動，用Poisson過程來刻畫。近年來隨著金融市場的不斷發展，出現了許多新型期權［3］－［5］，對各類期權定價的研究就成了當前金融工程的熱門話題之一，其中利用鞅方法對一些較為復雜的期權簡單地進行定價（鞅的英文是Martingale，意思是公平賭博）。交換期權的指持有人在到期日有權利（但沒有義務）以一種風險資產交換另一種風險資產，最初是由Margrabe提出并推出歐式交換期權的定價。本文在假定股票價格跳過程為一類特殊的更新過程模型下，用較簡單的數學方法得到了廣義交換期權定價，并給出一些特例和推廣，以及廣義交換期權的套期保值策略。

2 預備知識與市場模型

假設在金融市場M中有3種可連續交易的資產，其中一種是無風險債券，設其價格過程Pt滿足微分方程：dP t＝rt P t dt，P0＝1，其中rt為短期無風險利率，是時間t的函數。

另兩種是風險資產，設為股票1和股票2，其價格過程S1t與S2t在風險中性概率空間（Ω，F，P）中分別滿足下面的隨機微分方程（SDE）：

SDE（3）和SDE（4）的解可由Doleanse－Dade指數公式得出，如（3）的解為

3 跳—擴散模型下廣義交換期權定價

歐式廣義交換期權是期權的多頭方在到期日T擁有以b份標的股票2換取空頭方a份標的股票1的權利，因此，在到期日T多頭方的收益f（S1T，S2T，T）＝（aS1T－bS2T，0）＋。

εk，l是關于（1＋Vj）的聯合分布期望算子，Φ（·）為標準正態分布的累積概率分布函數。

證：由市場的無套利定價理論可知：

4 一些特例

① 若假設此更新過程為純生過程，且無風險利率，波動率均為常數，則由公式（5）可以得到文獻［4］的結果。

② 若假設股票價格的過程為擴散過程，無風險利率，波動率均為常數，ρ＝0，a＝b＝1，代入（5）式就可以得到文獻［3］的結果。

③ 若假定股票1的過程為擴散過程，且參數均為常數，a＝b＝1，標的資產2為無風險資產（如債券，銀行存款等），且在T時刻的價值是K，則由公式（5）可得到經典的Black－Scholes公式。

5 套期保值策略

6 交換期權在投資基金業績報酬價值中的應用

為簡便起見，我們假定假設股票價格的過程為擴散過程，無風險利率，波動率均為常數，a＝b＝1。由文獻［6］可知投資基金業績報酬的獎金形式可以視作基金管理人可以選擇不同的證券投資組合的期權，這一期權是由β個基金管理人的投資組合與基準投資組合所組成的交換期權。可表示如下：

V P為業績報酬的價值，β為增值收益的提取比例，x1為期初基金投資組合的資產價值，x2為期初基準市場投資組合的資產價值。

假定β＝0.05，x1＝x2＝20億元，T－t＝1，σ1＝σ2＝0.20，ρ＝0.80（標準差反映的是基金投資報酬率相對平均水平的波動程度，這里假定基金投資組合的標準差與基準市場組合的標準差相等，都為0.20，同時根據假定基金投資組合與基準市場組合的相關系數為0.80），則d1＝0.064，d2＝－0.063，查表得：Φ（d1）＝0.524，Φ（d2）＝0.476，所以得到：

［1］ Black F.Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy.1973，81：133－155.

［2］ Merton R C.Option pricing when underlying stock Returns are discontinous［J］.Journal of Financial Ecnomical.May，1976，125－144.

［3］ Margrabe W.The Value of Option to one Asset for Another Journal of Finance，Vol，XXXIII：177－186.

［4］ 胡志鋒，黃榮坦.純生跳擴散型交換期權定價公式［J］.數學研究，2005，38（3）：333－338.

［5］ 陳超，鄒捷中，王自后.股票價格服從純生跳——擴散過程的期權定價模型［J］.數量經濟技術經濟研究，2002，（1）：40－42.

［6］ 薛剛，高紅兵，黃培清.交換期權與我國投資基金業績報酬的價值［J］.系統工程理論方法應用，2000，9（1）48－53.

Pricing General Exchange Options under Jump－Diffusion Model

Li Mei－rong
（DeptofMath，HefeiTeathersCollege，Hefei230061，China）

Options and the pricing theory of options are the frontiers problem in today’s financial management and financial engineering research.Under the risk－neutral hypothesis，we construct the model of stock price which jump process is a kind of special renewal process and obtain European general exchange option pricing formula under this model by means of martingale method.At last，this paper list some special cases of this model and generalize the pricing model and hedging strategy and the applying on perfoumance incentive fee of investment funds.

renewal process；martingale method；exchange option

O211.6；F830.9

A

1674－2273（2011）06－0012－03

2011－07－10

安徽省高等學校省級優秀青年人才基金資助項目：2010SQRL151

李美蓉（1977－），女，安徽蕪湖人，合肥師范學院數學系講師，研究方向：金融數學。

·馬克思主義中國化·