范德蒙行列式的應用探討

張 毅

(長江大學信息與數學學院, 湖北 荊州 434023)

范德蒙行列式的應用探討

張 毅

(長江大學信息與數學學院, 湖北 荊州 434023)

范德蒙行列式是《線性代數》的重要內容和研究工具，在許多方面有著廣泛的應用。主要討論了范德蒙行列式在證明問題中的應用。

范德蒙行列式；泰勒公式；克萊姆法則

在《線性代數》中，著名的范德蒙行列式[1]描述如下：

范德蒙行列式構造很獨特、形式非常的優美，在線性代數理論的研究和應用中都非常重要。下面，筆者通過幾個實例來說明范德蒙行列式在證明問題中的應用。

例1設x>y>z>0，試證明:

分析要證明題中的行列式的值小于0，而行列式是3階的，所以自然會想到直接展開計算，但這樣做會遇到多變量的高次多項式的因式分解問題，做起來比較繁瑣，而這個3階行列式的第1，2列的元素已具備范德蒙行列式的元素取值特點，故筆者考慮用范德蒙行列式的結論。

證明記：

故：

由已知x>y>z>0，有(y-x)<0,(z-x)<0,(z-y)<0，所以有f(x,y,z)<0。

證明

因此：

例3證明：對平面上n個點(ai,bi)(1≤i≤n)(a1,a2,…,an互不相等)，必存在唯一的一個次數不超過的n-1的多項式f(x)通過該n個點(ai,bi)(1≤i≤n)，即f(ai)=bi(1≤i≤n)。

分析要證明n個等式成立，也就是要證明n個方程組成的方程組有解，很自然地會想到克萊姆法則，再根據系數行列式的特點，故考慮用范德蒙行列式的結論。

證明設f(x)=c1xn-1+c2xn-2+…+cn-1x+cn，要使f(ai)=bi(1≤i≤n)，即滿足關于c1,…,cn的線性方程組：

而該方程組的系數行列式為范德蒙行列式：

當a1,a2,…,an互不相等時該行列式不為0，由Cramer定理知方程組有唯一解，即對平面上的n個點(ai,bi)(1≤i≤n)(a1,a2,…,an互不相等)，必存在唯一的一個次數不超過的n-1的多項式f(x)通過該n個點。

例4設f(x)在區間I上n階可導(n≥2)，若對?x∈I，|f(x)|≤M0,|f(n)(x)|≤Mn(M0,Mn為正常數)，證明:存在n-1個正常數M1，M2,…，Mn-1，使對?x∈I，有|f(k)(x)|≤Mk(k=1，2，…，n-1)。

分析題中出現n階導數，很自然地會想到泰勒公式[2]，要證明存在n-1個正常數，會想到建立方程組。

證明設a1,a2,…,an-1∈I，且ai≠0,ai≠aj(i≠j)，由泰勒公式，對于i=1，2，…，n-1，有：

由此得：

因此：

(1)

由此推得?x∈I，?k=1，2，…，n-1，有：

分析根據題意，按照高階無窮小的定義，結合泰勒公式和克萊姆法則來證明此題。

證明由題設條件，可得f(cih)(i=1，2，…，n+1)在x=0處帶有皮亞諾型余項的馬克勞林展開式:

這是以λ1，λ2…,λn+1為未知數的線性方程組，其系數行列式為：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1988.

[2]華東師范大學.數學分析[M].北京：高等教育出版社,2001.

[3]吳良森,毛羽輝.數學分析習題精解：多變量部分[M].北京：科學出版社，2005.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.08.004

O151.2

A

1673-1409(2011)08-0010-03