簡議導數在高考中的綜合應用

● (紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

簡議導數在高考中的綜合應用

●虞金龍(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

1 考試要求

了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間；了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求閉區間上函數的極值和最值；會用導數解決某些實際問題.

2 考點回顧

近幾年導數綜合試題主要考查以下幾個方面的內容:

(1)函數、導數、不等式綜合在一起解決單調性、參數的范圍等問題,這類問題涉及到含參數的不等式、不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解；

(2)函數、導數、方程、不等式綜合在一起,解決極值、最值等問題,這類問題涉及到求極值和極值點,以及求最值,有時需要借助方程的理論解決問題；

(3)利用導數的幾何意義,求切線方程,解決與切線方程有關的問題；

(4)通過構造函數,以導數為工具證明不等式；

(5)利用導數研究函數的零點，可用大致圖形及趨勢；

(6)導數與其他方面知識的綜合，利用導數求參數的取值范圍等.

3 命題走勢

在近幾年的高考試題中，導數越來越成為考查的熱點，由于導數本身具有強大的工具作用，以導數為載體的綜合題已經成為了高考命題的風向標,利用導數不僅能夠判斷函數的單調性,研究函數的極值與最值情況,而且還能在此基礎上畫出函數的大致圖像,得到函數圖像與坐標軸的交點或2個函數交點的條件,從而為研究方程的根及函數的零點提供方便.因此筆者預測2011年以導數為背景的綜合題仍將是理科的壓軸題,文科仍將出現在中檔題中,選擇題和填空題仍然要重點關注.

4 典例剖析

類型1利用導數求解圖像問題.

例1函數f(x)=x3-3x與直線y=a的圖像有3個互不相同的公共點，則a的取值范圍是

( )

A.-2lt;alt;2 B.alt;-2

C.agt;2 D.alt;-2或agt;2

分析由f′(x)=3x2-3=0，得x=±1.

當xlt;-1或xgt;1時，f′(x)gt;0；

當-1lt;xlt;1時，f′(x)lt;0.

因此在(-∞，-1)和(1，+∞)上，f(x)=x3-3x是增函數；在(-1，1)上，f(x)=x3-3x是減函數，由此可作出f(x)=x3-3x的草圖(如圖1).

圖1

由圖1可知，當且僅當-2lt;alt;2時，直線y=a與函數f(x)=x3-3x的圖像有3個互不相同的公共點.故選A．

說明考慮函數圖像的交點,往往利用導數的單調性來研究函數的圖像.

類型2利用導數求解切線和單調性問題.

(1)當k=2時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)求f(x)的單調區間.

(2010年北京市數學高考理科試題)

分析(1)當k=2時，

f(x)=ln(1+x)-x+x2，

因此

因為

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為

即

3x-2y+2ln2-3=0.

說明利用導數的幾何意義求切線方程、解決與切線方程有關的問題是導數的基本考查方法,求函數的單調區間問題在高考試題中屢見不鮮.

類型3利用導數求極(最)值有關問題.

例3已知函數f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖像在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2009年四川省數學高考文科試題)

分析(1)由已知得切點為(2,0),從而f(2)=0,即

又f′(x)=3x2+4bx+c，由已知得

f′(2)=12+8b+c=5,

從而

8b+c+7=0.

(2)

聯立式(1)，式(2)，解得

b=-1,c=1,

因此函數的解析式為

f(x)=x3-2x2+x-2.

②當mlt;1時，g′(x)=0有2個實數根

g′(x),g(x)的值的情況如表1所示.

表1 g′(x),g(x)的值

說明求函數的極值主要用到分類討論,解題時可以通過列表來解決.

類型4利用導數公式構造函數解題.

例4函數f(x)是定義在(0，+∞)上的可導函數，且滿足f(x)gt;0，xf′(x)-f(x)lt;0，則對任意正數a，b，若agt;b，則必有

( )

A．af(b)lt;bf(a) B．bf(a)lt;af(b)

C．af(a)lt;f(b) D．bf(b)lt;f(a)

即

bf(a)lt;af(b).

故選B.

說明本例由條件聯想到商的導數公式,比較大小時,常常要構造函數.

例5設f(x)，g(x)是R上的可導函數，f′(x),g′(x)分別為f(x),g(x)的導函數，且滿足

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)lt;0，

則當alt;xlt;b時，有

( )

A．f(x)g(b)gt;f(b)g(x)

B．f(x)g(x)gt;f(b)g(b)

C．f(x)g(a)gt;f(a)g(x)

D．f(x)g(x)gt;f(a)g(a)

分析令y=f(x)g(x)，則

y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)lt;0，

從而y在R上單調遞減.由xlt;b，可得

f(x)g(x)gt;f(b)g(b).

故選B.

說明本例由條件聯想到積的導數公式,在比較大小時,常常構造相應的函數.

類型5利用導數解決實際問題.

(1)求k的值及f(x)的表達式;

(2)當隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.

(2010年湖北省數學高考理科試題)

說明本題主要考查函數、導數等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力.

類型6構造函數利用導數解決證明問題.

(1)若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；

(2)設函數f(x)的圖像C1與函數g(x)圖像C2交于點P，Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M，N，證明:C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

分析(1)alt;1.

C2在點N處的切線斜率為

假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，即k1=k2,于是

則

y2-y1=lnx2-lnx1,

從而

于是r(t)在(0,1)上單調遞增.從而

r(t)gt;r(1)=0,

即

這與式(1)矛盾，假設不成立，故結論成立.

說明利用反證法解題在高考中也是屢見不鮮的.當直接證明受阻時，采用反證法可培養逆向思維.2009年浙江省數學高考壓軸題第(1)小題將單調改為不單調不失為命題的好方法.

精題集粹

( )

A．agt;bgt;cB．cgt;bgt;a

C．cgt;agt;bD．agt;cgt;b

( )

A.64 B.32 C.16 D.8

(2010年全國數學高考理科試題Ⅱ)

4.已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d的圖像過點P(0,2)，且在點M(-1,f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0.

(1)求函數y=f(x)的解析式；

(2)求函數y=f(x)的單調區間.

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)如果存在x1,x2∈[0,2]，使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；

(2010年浙江省寧波市高三數學模擬試題)

參考答案

1.C 2.A 3.3

4.(1)f(x)=x3-3x2-3x+2;

5.(1)y=-x+3;

(2)最大整數M=4;

(3)a≥1.