為“線性代數(shù)與空間解析幾何”課程開發(fā)數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件研究

黃廷祝, 張 勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,成都 610054)

為“線性代數(shù)與空間解析幾何”課程開發(fā)數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件研究

黃廷祝, 張 勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,成都 610054)

論述了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中開發(fā)數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件的必要性和應(yīng)用前景,并結(jié)合線性代數(shù)與空間解析幾何課程中線性變換知識(shí)、數(shù)學(xué)建模、Matlab數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)開發(fā)了教學(xué)插件,提出了開發(fā)過程的設(shè)計(jì)思想.

線性代數(shù);線性變換;數(shù)學(xué)建模;教學(xué)插件;Matlab數(shù)學(xué)軟件

1 引 言

在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革中,比如,由于“微積分”、“線性代數(shù)”等課程內(nèi)容多,課時(shí)緊,很多情況下,教師的教學(xué)都難以擺脫一種灌輸?shù)慕虒W(xué),這樣的教學(xué)不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維.為了開創(chuàng)新的教學(xué)模式,提升教學(xué)效果,目前廣泛開展的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“數(shù)學(xué)建模”課程取得良好的效果.而這些課程的開設(shè)往往和這些基礎(chǔ)課分開開設(shè).在形式上造成一定的脫節(jié).如果能夠在基礎(chǔ)課的教學(xué)過程中,就直接利用“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“數(shù)學(xué)建模”課程中的好的教學(xué)形式和教學(xué)設(shè)計(jì)思想,那么必將產(chǎn)生更直接更快捷的效果.

為了便于配合基礎(chǔ)課程教學(xué),我們陸續(xù)開發(fā)數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件.在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)乃至專業(yè)課教學(xué)中,開發(fā)數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件的有這樣一些好處：

(i)增加學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度;

(ii)有利于學(xué)生熟悉課程知識(shí)的應(yīng)用背景、應(yīng)用過程;

(iii)讓學(xué)生早期接受初期的實(shí)踐課題,啟發(fā)創(chuàng)造性思維.

另外,這些教學(xué)插件內(nèi)容簡練,相對(duì)獨(dú)立,可以選擇性的應(yīng)用.比如,以一個(gè)甚至多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題的建模過程開發(fā)插件.

下面我們先討論數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用過程和特性,再結(jié)合實(shí)例探討開發(fā)過程.

2 發(fā)揮數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)創(chuàng)新思維的優(yōu)勢

對(duì)于數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中的重要性和應(yīng)用實(shí)踐有較多論述,其應(yīng)用的必要性、重要性,實(shí)踐的有效性得到了廣大師生的認(rèn)同,其應(yīng)用價(jià)值有目共睹.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)及其在其他課程中的教學(xué)實(shí)踐之所以產(chǎn)生如此廣泛的良好影響,與其本身蘊(yùn)含的特性分不開.數(shù)學(xué)建模的基本過程由問題分析、問題簡化、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用組成.這個(gè)過程也就是科研和工程中解決問題的一般過程,可以讓學(xué)生盡早進(jìn)入科研與工程實(shí)踐.將這些實(shí)踐教學(xué)用于學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,可以大大提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性,有利于創(chuàng)新性思維.

3 教學(xué)插件的開發(fā)

3.1 知識(shí)點(diǎn)與實(shí)際問題的選擇.

在教學(xué)插件的開發(fā)之前,需要在線性代數(shù)教學(xué)中的一些難點(diǎn)中選擇知識(shí)點(diǎn),并結(jié)合恰當(dāng)?shù)膶?shí)際問題開發(fā)插件.比如,可以選擇線性相關(guān)性、特征值與特征向量、線性變換等內(nèi)容開發(fā)插件.在整個(gè)開發(fā)過程中,選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)際問題顯得較難.另外,如果選擇的問題求解過程可以通過直觀的方式進(jìn)行展示,則得到的教學(xué)效果會(huì)更好.

3.2 開發(fā)過程.

下面以線性變換作為知識(shí)點(diǎn),以2D圖形與游戲開發(fā)為實(shí)際背景,探討一個(gè)教學(xué)插件的開發(fā)過程.

(i)問題描述及問題背景.

假定現(xiàn)在要在平面上旋轉(zhuǎn)一個(gè)物體,需要繪制物體的旋轉(zhuǎn)過程.由于繪制過程需要知道物體上各點(diǎn)的坐標(biāo),而旋轉(zhuǎn)過程中物體上點(diǎn)的坐標(biāo)是不斷變化的.因此,繪制過程需要跟蹤物體坐標(biāo)的變換.

問題可以歸結(jié)為已知旋轉(zhuǎn)角度θ,旋轉(zhuǎn)前P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),計(jì)算旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)坐標(biāo)的為P′(x′,y′).這里P點(diǎn)代表任意待旋轉(zhuǎn)的點(diǎn).

(ii)分析與建模.

為了計(jì)算矩陣M,不妨先從特殊點(diǎn)或向量的旋轉(zhuǎn)開始分析.設(shè)u=(1,0)T,v=(0,1)T.u和v可以看作x軸正向,y軸正向的單位向量,也可以看作為x,y軸上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).同時(shí)也是2D空間中的一組基向量.設(shè)u′,v′分別為u,v旋轉(zhuǎn)后的向量.

將u和v代入(1),可得

由(2),(3)式可知,所求旋轉(zhuǎn)矩陣M得第1列,第2列恰好分別是基向量u,v旋轉(zhuǎn)后的向量.因此找出u,v旋轉(zhuǎn)后的u′,v′,分別填入旋轉(zhuǎn)矩陣的第1列,第2列即得旋轉(zhuǎn)矩陣M.

(iii)模型求解.

下面計(jì)算u′,v′.

記旋轉(zhuǎn)角度逆時(shí)針方向?yàn)檎?順時(shí)針方向?yàn)樨?fù).則在已知u,v逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后的向量u′,v′如下(見圖1)

圖1 基向量的旋轉(zhuǎn)

(iv)應(yīng)用演示.

在這個(gè)階段將模型的求解過程以及應(yīng)用過程用直觀的動(dòng)畫形式進(jìn)行演示.

以一個(gè)旋轉(zhuǎn)一個(gè)單位正方形的過程來描述,并用Matlab設(shè)計(jì)動(dòng)畫演示,動(dòng)畫效果見圖2,圖3:

圖2 旋轉(zhuǎn)后的圖形重疊

圖3 旋轉(zhuǎn),后的圖形重疊

(v)探索階段.

前面的推導(dǎo)只就如何求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣而展開,還沒有挖掘其深層次的含義和用途.因此,為了升華所學(xué)知識(shí),可以給出以下幾個(gè)問題供學(xué)生探索,開展創(chuàng)新性思維訓(xùn)練,培養(yǎng)創(chuàng)新實(shí)踐能力:

①先旋轉(zhuǎn)角度θ1,后旋轉(zhuǎn)角度θ2的最后圖形效果應(yīng)該等同于一次旋轉(zhuǎn)角度θ1+θ2,能否結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換矩陣M進(jìn)行論證.

②請結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換矩陣的幾何意義,用一句話概括構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換矩陣的方法.

③如果在繪圖過程中需要撤銷剛實(shí)施的旋轉(zhuǎn)變換,應(yīng)該如何變換點(diǎn)的坐標(biāo),恢復(fù)旋轉(zhuǎn)前的圖形?

當(dāng)然,還可以啟發(fā)學(xué)生去探索,如何將這里的結(jié)論推廣到3D空間中繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn).

4 應(yīng)用前景

顯然,我們開發(fā)的教學(xué)插件內(nèi)容豐富又精煉,融合了數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模過程及其應(yīng)用的線性代數(shù)基本知識(shí),內(nèi)容具有綜合性強(qiáng)、涉及面廣,可以在較短時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的樂趣,體會(huì)到解決實(shí)際問題的思路和過程.既能讓學(xué)生盡早接觸實(shí)際問題,又能讓學(xué)生較快地接受解決問題的思維訓(xùn)練,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.有利于促使學(xué)生開展研究型學(xué)習(xí),也有利于開展研究型教學(xué).目前不少綜合性大學(xué)都在由教學(xué)型大學(xué)向研究型大學(xué)轉(zhuǎn)變,教師教學(xué)思維的轉(zhuǎn)變和培養(yǎng)是關(guān)鍵,同樣,培養(yǎng)研究型學(xué)習(xí)的學(xué)生同樣重要.因此,利用數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件在基礎(chǔ)課程,乃至專業(yè)課程中進(jìn)行應(yīng)用,有利于這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).

我們相信,發(fā)揮數(shù)學(xué)建模課程本身的實(shí)踐性和諸多優(yōu)點(diǎn),將其用于其他課程的實(shí)踐將為我們實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性人才培養(yǎng)發(fā)揮重要作用.

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O151.2;TP311.52

C

1672-1454(2011)03-0161-03

2008-10-06

教育部普通高等教育教改項(xiàng)目