殘差T2控制圖中多元自相關過程模型研究

楊茜婷

（燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004）

一、引言

自相關過程在各行業領域隨處可見，如工業生產、公共醫療保健、畜牧生產體系和分析實驗室等。傳統控制圖要求序列彼此獨立，自相關性的存在使得常規控制圖監控效果不準確，導致漏報虛報的現象發生。此外，產品功能的多樣化使得需要監控的質量不唯一，同時監控多個質量是統計質量控制的必然趨勢，因此，從多元自相關序列出發，將自相關過程轉換為獨立的殘差，設計合理的殘差控制圖具有重要的現實意義。

目前看，國內外學者已對殘差控制圖進行了大量研究。在國外，Layth和Harry首次提出了殘差控制圖[1]。Lu和Reynolds對比了殘差均值和方差取不同偏移量時在Shewhart、CUSUM、EWMA三種控制圖下的異同點[2][3]。對于整合應用控制圖，Lin和Adams提議聯合使用殘差控制圖和EWMA控制圖[4]。國內對該領域的研究起步較晚，孫靜、徐立廣和楊穆爾是最先研究該領域的學者。他們在國內首先提出殘差控制圖，并引進適用于生產過程自相關的調整均值控制圖理論[5]；對于殘差T2控制圖，從二元自相關過程發展到多元自相關過程[6][7]。朱慧明和趙銳借助貝葉斯統計質量控制模型獲得殘差，并用殘差控制圖進行監控[8]。孫秋霞和高齊圣研究序列相關性對殘差控制圖性能的影響，發現殘差控制圖在負相關過程中性能更好[9]。

以上對自相關殘差控制圖的研究，無論數據呈幾階自相關，學者們大多采用一階自回歸模型擬合數據。對于單變量自相關情形，肖艷和李亞平等人已通過實驗對這種做法的合理性進行了驗證[10]。本文針對多元自相關過程，通過蒙特卡洛方法對基于殘差T2控制圖的多元自相關模型進行研究，比較VAR（1）與VAR（p）預測下殘差控制圖的性能，并分析導致性能差異的原因。

二、擬合模型與方法

由p（p≥2）階多元自回歸模型產出的自相關數據，均可以用一階VAR（1）和同階 VAR（p）模型進行擬合，計算數據的真實值與擬合后的預測值之差即得到殘差向量，計算得到對應的T2統計量，通過殘差T2控制圖監控多元自相關過程。

（一）高階多元自相關擬合模型的構建

1.VAR（p）擬合模型

在多元自相關過程中，VAR（p）模型的表達式為

其中μ為受控的過程均值；Φ1，…，Φp為自回歸系數矩陣，Φp≠0；εt為誤差向量，服從正態分布，E（ε）t=0，cov（εt，ε）t=∑，∑為一個常值協方差矩陣，對于E（εtεTt+）k當k=0時等于∑，k≠0時等于0；E（Xsε）t=0，s

2.VAR（1）擬合模型

在多元自相關過程中，VAR（1）模型的表達式為：

（二）殘差T2控制圖

監控殘差T2統計量的控制圖即為殘差T2控制圖。殘差T2控制圖的下控制限LCL=0，上控制限取F分布控制限：

設殘差T2控制圖失控的概率為P，則ARL與多元自相關過程中的偏移量δ滿足如下關系：

這里定義的殘差統計量服從卡方分布，代入（7）式可直接計算ARL作為比較殘差T2控制圖性能的依據。

三、基于模型階數的殘差T2控制圖性能對比

（一）前期準備

為不失一般性，設多變量自相關過程的維數為2，規定質量特性的受控均值 μ0=（0，0）T，則符合條件的二維VAR（p）模型滿足：

下面定義VAR模型的自相關度γ，以p=2為例，計算公式如下：

（二）隨機模擬生成ARL

為了直觀比較 VAR（1）與同階 VAR（p）（p≥2）預測下的殘差T2控制圖的性能，并驗證結論的普適性，取p=2，3進行仿真實驗。下面以二階自相關數據為例介紹隨機模擬過程。

對于定義的模型（8），取p=2，并給定符合要求的Φ1和Φ2，通過蒙特卡洛方法生成一組二階自相關數據。然后，運用最小二乘法估計得到二階自相關數據的VAR（1）模型和VAR（2）模型預測值。設犯第一類錯誤的概率α=0.005，則受控狀態下預期的平均運行鏈長為200。以delta為依據，選取δ并代入式（7）中，分別計算在模型VAR（1）和模型VAR（2）預測下的殘差序列在殘差T2控制圖中受控和失控的ARL。具體的取值方案如下：

由于VAR模型的自相關度只由Φ1和Φ2的對角元素決定，所以可保證非對角元素不變，其中c12=0.1，c21=0.2，通過調整其對角元素改變求和后對角元素的值，進一步改變模型的自相關度。以delta值取2.5作為偏移量大小的分界點，將δ的取值分為如下三種情形：受控時取[0，0]；較小偏移時取[0.5，0]，[0.5，0.5]，[0.5，1]，[1，2]；較大偏移時取 [2，2]，[2，2.5]，[2.5，2.5]，[3，3]。比較兩種模型預測下的平均鏈長在不同偏移程度delta下的優劣。實驗結果見表1、表2。

表1 VAR（2）和 VAR（1）預測下殘差 T2控制圖的 ARL（delta≤2.5）

表2 VAR（2）和 VAR（1）預測下殘差 T2控制圖的 ARL（delta>2.5）

（三）殘差T2控制圖性能分析

肖艷和李亞平等人發現用VAR（1）模型擬合的殘差序列具有負自相關性[10]。所以對于多元自相關過程，殘差向量可以用如下多元線性模型進行擬合，滿足：

其中k為大于0的常數，b為常數向量，ε為誤差項隨機向量。所以對于（t-1）時刻的T2統計量T2（t-1）=e（t-1）T∑（0）-1e（t-1），將式（10）代入，轉化后得到：

其中k、b為常數，ε是誤差項隨機變量。VAR（1）模型擬合的殘差T2統計量序列滿足正自相關關系，使殘差T2控制圖性能更好。

此外，肖艷和李亞平等人通過實驗發現在自相關程度下降時，一階自回歸模型預測下的殘差序列負自相關的程度會減弱，導致公式（10）中的 k→0，從而式（11）中的k2→0。因此在多變量自相關過程中，自相關程度的減弱會導致VAR（1）擬合下的殘差T2統計量的正自相關性減弱，使殘差T2控制圖探測異常變得靈敏。

對于三階多元自相關數據，同樣用上述隨機模擬方法，得出的結論一致，即VAR（1）下的殘差T2控制圖優于VAR（3）。同時，影響殘差T2控制圖性能的因素也與二階的情形相同。驗證了上述結論的普適性。

四、結語

本文主要對基于殘差T2控制圖的多元自相關過程模型進行研究。通過隨機模擬實驗，對比分析兩種模型下的ARL，發現通過VAR（1）預測的殘差T2控制圖的性能優于VAR（p）擬合模型，這一發現可以使對殘差T2控制圖的后續研究減少定階過程，以節約定階所需的時間和成本。這一發現也與肖艷、李亞平等人對單變量情形的研究結論基本一致?！?/p>