巧用“特殊點”求三角函數中ω的取值范圍

單堯

【摘要】整體代換思想和數形結合思想是我們處理三角函數有關問題的常用思想方法.整體代換思想可以把復雜的問題轉化為較為簡單的問題，但是有時候運算量大，不易理解.數形結合思想，可以把難理解的問題可視化，簡單化，不過學生需要有較強的構圖能力和抽象概括能力.靈活運用數形結合思想解題可以大大簡化我們的運算，使我們抓住問題的本質.所以，在解決三角函數有關問題時我們應該將兩種思想結合使用，尤其是多嘗試從函數的圖象上尋找問題的答案.

【關鍵詞】整體代換思想;數形結合思想;函數的圖象

1 φ與5個關鍵點的位置關系

1.1 三角函數中的5個關鍵點

對于函數f（x）=sin（ωx+φ）而言，如果分別令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π，可得

A1（-φω，0），A2（π2-φω，1），A3（π-φω，0），A4（3π2-φω，-1），A5（2π-φω，0）這5個關鍵點.

1.2 φ的大小與5個關鍵點的位置關系

（1）當φ∈（0，π2）

（2）當φ∈（π2，π）

（3）當φ∈（-π2，0）

（4）當φ∈（-π，-π2）

2 利用特殊點法求參數ω的范圍幾種題型

2.1 與函數單調性相關問題

例1 若函數f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）在（π2，π）上單調，且在（0，π3）上存在極值點，則ω的取值范圍為（ ）

（A） （0，2]（B） （1，2]

（C） [23，43]（D） （1，43]

解答 因為φ=π6，函數的圖象如圖一所示.設Ai的橫坐標為xi，i∈{1，2，3，4，5}（下同）.因為函數（0，π3）上存在極值點所以必有：x2<π3.令ωx2+π6=π2，即x2=π3ω<π3得ω>1.

又因為函數在（π2，π）上單調，所以由π-π2≤T2=πω，得ω≤2.

當1<ω≤2時

x2=π3ω∈[π6，π3），x4=4π3ω∈[2π3，4π3）

即x2<π2

π3ω≤π24π3ω≥π1<ω≤2得ω∈（1，43]

答案 D.

例2 已知f（x）=sinωx+3cosωx（ω>0）在區間[π6，π4]上單調遞增，則ω的取值范圍是（）

（A）（0，23]

（B） （0，23]∪[7，263]

（C） [7，263]∪[503，19]

（D） （0，23]∪[503，19]

解答 原函數可化為f（x）=2sin（ωx+π3）（ω>0），則函數圖象如圖5所示

因為函數在[π6，π4]上單調，

所以由π4-π6≤T2=πω，

得0<ω≤12.

又因為x2=π6ω≥π72，x8=19π6ω≥19π72>π4

所以要保證函數在[π6，π4]上是單調遞增，由上圖可知只需：

[π6，π4][0，x2]或者[π6，π4][x4，x6]

即π4≤x2=π6ω或者π4≤x6=13π6ω且π6≥x4=7π6ω.解不等式得ω∈（0，23]∪[7，263]

答案 B.

2.2 與函數零點相關問題

例3 設函數f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個零點.下述四個結論：

①在（0，2π）有且僅有3個極大值點

②在（0，2π）有且僅有2個極小值點

③在（0，π10）單調遞增

④ω的取值范圍是[125，2910）

其中正確的結論是（）