精確行波解的構(gòu)造及其應(yīng)用＊

馮濱魯

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

精確行波解的構(gòu)造及其應(yīng)用＊

馮濱魯

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

通過利用修正里卡蒂方程得到一個構(gòu)造精確行波解的方法，并且舉出例子來展現(xiàn)這一方法在處理非線性波方程上的應(yīng)用。

構(gòu)造；行波解；Kdv方程

1 引言

非線性物理現(xiàn)象同非線性偏微分方程（NLPDEs）緊密相聯(lián)，并且涉及到許多其他領(lǐng)域，如生物、化學(xué)、力學(xué)等等。作為這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，NLPDEs的精確解的研究將幫助我們更好地理解這些現(xiàn)象，所以許多學(xué)者研究找到了多種方法來求精確解，如反散射方法［5－6］、hirota雙線性方法［7－9］、tanh方法［10－12］、齊次平衡法等。本文通過利用修正里卡蒂方程獲得一個構(gòu)造精確行波解的新方法，并且舉出例子來展現(xiàn)這一方法在處理非線性波方程上的有效應(yīng)用。

2 主要結(jié)果

對于非線性方程

其中，P是一個關(guān)于u和u的各階偏導(dǎo)數(shù)的一個多項式，為得到方程（1）的行波解，作如下變換

這里，k，w為待定常數(shù)，ξ0為任意常數(shù)。

那么方程（1）就變成一個常微分方程

假設(shè)方程有如下形式的解

由文獻(xiàn)［1］知Y滿足下面的方程

其中，m和r是整數(shù)，ci（i＝1，2，…，r）是待定常數(shù)，m和r的關(guān)系可通過平衡最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項得到。如果m不是一個整數(shù)，則可通過相應(yīng)的變換公式［1］來解決。然后將方程（3）代入常微分方程（2）并使用方程（4）得到一個關(guān)于Y的各次冪的一個代數(shù)方程，因為Y的各次冪系數(shù)都為零，從而得到一個關(guān)于k，c，a0，…，an，b1…bn的方程組。利用Mathematica或者M(jìn)aple就可將它們解出來，最后只需將上面的結(jié)果代入到方程（3）便得到方程（1）的解。

從上面的討論，可以看出如何確定或解出方程（4）的更多形式的解是關(guān)鍵。范［1］已經(jīng)給出當(dāng)r＝3或r＝4的5種形式的解，本文將討論r＝2，3，4時更一般的解。首先將方程（4）記成下面的形式

情形（Ⅰ） r＝2，即Y′2＝A＋BY＋CY2

如果B＝0，則

其中，m是積分常數(shù)。

如果B≠0，根據(jù)文獻(xiàn)［1］，則

其中，m是積分常數(shù)。

情形（Ⅱ） r＝3，即Y′2＝A＋BY＋CY2＋DY3

其中，m是積分常數(shù)。

情形（Ⅲ）r＝4，即Y′2＝A＋BY＋CY2＋DY3＋EY4

其中，m是積分常數(shù)。

其中，m是積分常數(shù)。

3 應(yīng)用舉例

考慮Kdv方程

為了得到方程（6）的行波解，作如下變換

將方程（7）代入方程（6）并積分得

平衡方程（8）的最高階倒數(shù)項u″和非線性項u2，得到n＝2，因此方程（8）的解可設(shè)為

將方程（9）代入方程（8）并使用方程（5），令Y各次冪系數(shù)為零，就得到a0，a1，a2，b1，b2，A，B，C，D，E，k，a，n，d，w的一個代數(shù)方程組

由前述主要結(jié)果，可知Kdv方程的解

情形 （Ⅰ）

（1）如果在方程（5）中取A＝C＝1，B＝D＝E＝0，則

其中，k是一個自由參數(shù)。

將這些結(jié)果代入方程（9），這時有Y＝sin hξ（m＝0），從而得到

（2）如果取A＝2，C＝－1，B＝D＝E＝0，則

（3）如果取A＝C＝1，B＝－2，D＝E＝0，那么

這時Y＝expξ＋1（m＝0），所以有

其中，u4與文獻(xiàn)［1］中的單孤子解相同。

（4）如果取A＝C＝1，B＝2，D＝3＝0，則所得到的解與文獻(xiàn)［3］相同。

情形 （Ⅱ）

（1）如果取C＝D＝4，A＝B＝E＝0，那么

這時Y＝－sec h2ξ，所以有

（2）如果取C＝－4，D＝4，A＝B＝E＝0，這時Y＝sec2ξ（m＝0），那么就有

特別地，如果取D＝－C（C＞0），k＝1，則方程（6）有如下形式的解

與文獻(xiàn)［1］中相同。

情形 （Ⅲ）

（1）如果取A＝B＝D＝0，C＝1，E＝－1，那么

（2）如果取A＝B＝D＝0，C＝－1，E＝1，那么

（3）如果取B＝D＝0，A，C，E≠0，那么

分別令C＝－2，E＝1，A＝1和C＝2，E＝1，A＝1，則得到

此結(jié)果同文獻(xiàn)［4］。

（5）如果取A＝B＝0，C＝1，E＝D＝4，那么

其中，ξ＝k（x＋k2t）＋ξ0

由此可知此新的方法的有效作用。

［1］Fan E G.Integrable Systems and Computer Algebra［M］.Beijing：Science Press，2004：29－33.

［2］Chen D Y.Introduction of Solitons［M］.Beijing：Science Press，2006：15－16.

［3］Wazzan L.A modified tanh-coth method for solving the Kdv and the Kdv－Burger's equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2009，14（2）：443－450.

［4］Li Y S.Solitary Theory and Integrable System［M］.Shanghai：Shanghai Technology Education Press，1999：41－43.

［5］Ablowitz M J，Segur H.Solitons and Inverse Scattering Transform［M］.SLAM：Society for Industrial Mathematics，2000.

［6］Vakhnenko V，Parkes E J.A bacldund transformation equation［J］.Chaos Solitons Fract，2003，17（4）：683－692.

［7］Hirota R.Direct method of finding exact solutions of nonlinear evolution equations［C］／／Bullough R，Caudrey P.Backlund transformations.Berlin：Springer，1980：1157－1175.

［8］Wazwaz A M.Mutiple－soliton solutions for the KP equation by hirota's bilinear method and by the tanh－coth method［J］.Appl Math Comput，2007，190（1）：633－640.

［9］Wazwaz A M.Mutiple－soliton solutions for the boussines equation［J］.Appl Math Comput，2007，192（2）：479－486.

［10］Malfliet W.Solitary wave solutions of nonlinear wave equation［J］.AMJ Phys，1992，60（7）：650－654.

［11］Malfliet W，Hereman W.The tanh method I：exact solutions of nonlinear evolution and wave equations［J］.Phy Scr，1996，54（6）：563－568.

［12］Wazwaz A M.The tanh method for travelling wave solutions of nonlinear equations［J］.Appl Math Comput，2004，154（3）：713－723.

（責(zé)任編輯：肖恩忠）

Construction of Exact Travelling Wave Solutions and Applications

FENG Bin－lu
（Weifang University，Weifang 261061，China）

In this work，a uniform construction of exact travelling wave solution was obtained by taking advantage of the modified ricati equation.And model was presented to show a wide applicability for handling nonlinear wave equations.

construction，travelling wave solution，Kdv equation

2011－02－22

山東省自然科學(xué)基金資助項目（ZR2009AL021）

馮濱魯（1963－），男，山東泰安人，濰坊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院博士，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：微分方程穩(wěn)定性理論，孤立子理論。

O175.29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671－4288（2011）06－0001－05