非自治退化拋物方程柯西問題熵解的存在性＊

郝興文

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

非自治退化拋物方程柯西問題熵解的存在性＊

郝興文

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

非自治的二階退化拋物型方程是物理、金融中常見的數學模型。本文將利用粘性消去法，證明這類方程的柯西問題熵解的存在性。

退化拋物方程；熵解；柯西問題

1 問題與主要結果

考慮如下非自治退化拋物方程的柯西問題：

式中，u為未知函數；T為R＋上任意時刻。f（u，t）＝（f1（u，t），f2（u，t），…，fn（u，t））是流函數，A（u，t）是對稱、非負定矩陣，其元素可以寫成aij＝∑kk＝1σikσkj。在本文中，假定fi，aij，g具備所需的光滑性，且g（0）＝0。這個模型可以用來描述許多現象，如多孔介質中的熱傳輸［1］、沉降－凝固過程［2］、金融決策［3］等。方程（1）是下列一般形式的退化拋物－雙曲方程的一個特殊形式，

由于這個方程的解有間斷，大家在不同的解空間尋找弱解，例如文獻［8］中給出了方程（2）的BV解的存在性，文獻［4］中得到了在方程（2）中不顯含x，t形式的方程動力學解的存在唯一性，其它形式的解可以見文獻［5－7，9－10］。本文將利用粘性消去法，證明方程（1）的L1熵解的存在性。在給出主要結果之前，首先給出一些必要地符號和方程（1）的熵解的定義。

對任意的凸函數S，記

定義1 一個可測函數u∈L∞（［0，T）×Rn）∩L∞（［0，T），L1（Rn））是方程（1）的熵解，如果u滿足：

（2）對任意的κ＝1，2，…，K以及φ∈C（R），下面的鏈式法則成立

（3）對任意的φ∈C（R），φ≥0，下列關系式成立

（4）對任意的凸函數S（u），熵不等式在D′（［0，T）×Rn）中成立

并且滿足S（u）｜t＝0＝S（u0）。

定理1 如果初值u0（x）∈W2，1（Rn）∩H1（Rn）∩L∞（Rn），則方程（1）存在熵解u∈L∞（［0，T）×Rn）∩L∞（［0，T），L1（Rn））。

注：借助于熵解的收縮性，可以證明初值u0∈L1（Rn）∩L∞（Rn）時，熵解的存在性以及唯一性。

2 定理的證明

在證明定理之前，首先給出粘性方程光滑解的先驗估計。……