數學教學中問題串的設計與運用

趙緒昌

【內容摘要】問題是數學的心臟，問題中承載并蘊含了豐富的數學信息。構建、運用適當的問題串是有效教學的基本線索，“用問題引導學習”應當成為教學的一條基本準則。在教學中，針對具體的教學內容和學生知識、能力的實際，設計并合理運用問題串，不僅可以激發學生的求知欲望，搭起學生學習的“腳手架”，幫助學生尋找解決問題的途徑，引導學生自主探究問題，突破教學的重點、難點，培養學生的思維能力，而且能夠優化課堂教學結構，提高課堂教學效益。

【關鍵詞】數學教學問題串有效運用思維能力教學效益

問題是數學的心臟，數學的真正組成部分是問題和解。波普爾指出：“知識的增長永遠始于問題，終于問題——愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發大量新問題的問題。”在數學教學中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應用，學生思維方法的訓練與提高，以及實際應用能力和創新能力的增強，無不從“問題”開始。可是在實際教學中，我們會經常發現問題并不是那么好提，太難，學生“蒙”，并且會讓許多學生產生畏難情緒；太簡單，又成無效問題，浪費寶貴的教學時間。

問題串指在一定的學習范圍或主題內，圍繞一定目標或某一中心問題，按照一定邏輯結構精心設計的一組（一般在3個以上）問題。構建適當的問題串是有效教學的基本線索，“用問題引導學習”應當成為教學的一條基本準則。在教學中，針對具體的教學內容和學生知識、能力的實際，設計并合理運用問題串，是支持教師教授過程和學生學習過程的一個重要工具，有利于將知識點由簡單引向復雜，將學生的錯誤回答或理解引向正確，將學生的思維由識記、理解、應用等較低層次引向分析、綜合、評價等較高層次。有效的問題串能激發學生積極思維，培養思維能力，優化課堂教學結構，提高課堂教學效益。

一、用問題串，學習概念

實際教學過程中，有些難點知識比較抽象，學生的知識準備少，遷移能力欠缺，沒有感性認識，教師直白地講解，學生不容易參與到學習活動中來，很難達到應有的教學效果。但是如果給出相應的問題情境，提供相應的直觀載體，再創設與之相應的問題串，將難點知識分解為許多小問題，引導學生從情境信息出發層層深入，步步逼近，則會另有一番課堂景象。

【案例1】“數軸”的教學

“數軸”是一個很抽象的概念，為了使學生加深理解，教師預先布置學生回家觀察溫度計，并用衛生筷制作一支仿真的溫度計。然后在上新課時教師準備一些實驗室里的溫度計發給學生，讓他們仔細對照檢查是否有做得不完善或不正確的地方，盡可能讓學生先說。接下去教師提出：

問題1：溫度計是否有刻度（包括零刻度線）？

問題2：刻度是否均勻？

問題3：刻度標法順序是怎樣的？

問題4：在相鄰的兩條刻度線之間能否再刻上更小的刻度線？

問題5：溫度計上的刻度排列是否有方向性？

問題6：這個溫度計能否做得很長很長，刻度標得更多些？

【評析】學生根據自己的制作和觀察一般能回答上來，然后我們把這支溫度計抽象成一條向兩方無限伸展的數軸，引出課題。這樣的導入，不光是讓學生從實例中體會到了數軸的形象，而且感受了創造數學的過程。對于教學目標來講，數軸的三要素盡顯其中，滲透了數形結合的思想，為接下去畫數軸，在數軸上找表示有理數的點和說出數軸上的點所表示的有理數，以及下一節數軸上有理數大小的比較，掃清了理解上的障礙。

【案例2】“對頂角”的教學

問題1：把兩根小木條中間釘在一起，使它們形成4個角，這4個角的大小能自由改變嗎？在制作過程中你有什么感想？

問題2：在相交的道路、剪刀、鐵欄柵門等實際問題中（教師通過多媒體課件呈現圖片），你能發現哪些幾何形象？試作出它的平面圖形。

問題3：如果將剪刀用圖形簡單地加以表示（如圖1），那么∠1與∠2的位置有什么關系？它們的大小有什么關系？能試著說明你的理由嗎？

問題4：找一找生活中對頂角的例子。

【評析】問題1是一個與學生的生活緊密聯系的數學實驗，直觀的動態模型能夠使學生初步形成對學習對頂角概念的形象雛形理解，從而讓學生經歷知識的發生過程，能夠給學生提供充分的實踐與想象的空間。問題2配合問題1對幾何形象進一步去觀察、操作、猜想，使學生的發現與歸納在更高的思維層次上展開，從而克服了直接給出“兩線四角”引入對頂角概念的單一教學模式，促使學生進行探究式的主動學習。問題3為學生提供了極好的探究“對頂角相等”這一性質的現實模型，讓學生親身體驗了對頂角性質的歸納，使之自然穩固地內化到認知結構中。問題4讓學生回到現實中，應用對頂角的概念去尋找生活中對頂角的例子，既能使學生體驗到數學的應用價值，又能加深學生對知識的理解，真正實現知識的自主建構。因此，此問題串預設了豐富的具有現實背景的問題，關注了學生的生活經驗，讓學生動手“做”數學，開拓了學生的思維空間，提高了學生的自主探索能力。

二、用問題串，探究規律

問題串的設計要根據教學目標、重點、難點，把教學內容編織成一組組、一個個彼此關聯的問題，使前一個問題作為后一個問題的前提，后一個問題是前一個問題的繼續或結論，這樣每一個問題都成為學生思維的階梯，許多問題形成一個具有一定梯度和邏輯結構的問題鏈，使學生在明確知識內在聯系的基礎上獲得知識、提高思維能力。

【案例3】“一元二次方程的根與系數的關系”的教學

問題1：分別求出方程x2＋3x＋2=0，x2+8x－9=0的兩個根與兩根之和、兩根之積；觀察方程的根與系數有什么關系？

問題2：分別求出方程2x2－5x－3=0，3x2＋20x－7=0的兩個根與兩根之和、兩根之積，觀察方程的根與系數有什么關系？

問題3：你能猜想出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根之和與兩根之積是多少嗎？觀察方程的根與系數有什么關系？

問題4：這個規律對于任意的一元二次方程都成立嗎？如方程x2+x+1﹦0，它的根也符合這個規律嗎？

問題5：請你用數學語言表達上述規律。

【評析】在解答這些問題的過程中，通過問與問之間的層層推進，引導學生按照一定的邏輯順序層層深入，由易而難，由外而內，由現象到本質，由特殊到一般，學生在解決這些問題的過程中，對一元二次方程的根與系數的關系的掌握也基本系統化了。

【案例4】“平行四邊形的判別”的教學

問題l：你能在平面內用兩對長度分別相等的小木棒首尾順次相接組成一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題2：你能將兩根長度相等的小木棒放置在有橫條格的練習本的紙上，使得兩根小木棒的端點所代表的四個點能在紙上畫出一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題3：你能用這兩根長度不等的繩子放在有橫條格的練習本的紙上，使得兩根繩子的端點所代表的四個點能在紙上畫出一個平行四邊形嗎？說說你是怎么操作的，畫出圖形并說明理由。

問題4：通過以上三個問題，你能得出哪些結論？

【評析】這個例子中，問題l、問題2、問題3這三個問題中，每個問題都要求學生經歷操作實驗、數學驗證、概括總結三個階段，因此，每個問題都包含一組有序的問題串，而問題l、問題2、問題3這三個問題實際上也組成了一組更大的有序的問題串，學生通過對三個問題的操作、實驗、猜想和探索研究等活動，自主獲得了平行四邊形的三個主要的判別方法，也使學生真正參與到教學活動中去。這樣充分體現了問題的層次感，也更適合學生探究。

三、用問題串，解決問題

運用問題串進行教學，實質上是引導學生帶著問題（任務）進行積極地自主學習，由表及里，由淺入深地自我建構知識的過程。因此，問題串的設計應體現遞度性和過度性，備課時要在精細化上下功夫，要根據教學目標，把教學內容編設成一組組、一個個彼此關聯的問題，使學生在問題串的引導下，通過自身積極主動的探索，實現了由未知向已知的轉變。

【案例5】“拋物線與三角形的面積”的復習教學

已知：如圖2，拋物線y＝x2－2x－4與直線y＝x交于A、B兩點，M是拋物線上一個動點，且在直線AB的下方，連接OM。

問題1：當M為拋物線的頂點時，求△OMB的面積；

問題2：（根據2005年湖北省武漢市中考卷第40（2）題改編）當點M在拋物線對稱軸的右側，且△OMB的面 積為10時，求點M的坐標。

問題3：（根據2008年廣東省深圳市中考卷第22（4）題改編）當點M在拋物線對稱軸的右側，點M運動到何處時，△OMB的面積最大？

問題4：（根據2008年安徽省蕪湖市中考卷第24（3）題改編）若以點M為圓心， 為半徑作⊙M，當⊙M與直線AB相切時，求點M的坐標。

【評析】這是1道基礎題和3道中考改編題的整合。其中問題1（已知三角形的3個頂點坐標，求它的面積）是一道常規問題，學生比較熟悉，入手相對容易，同時也為后面問題的探索做好鋪墊，起到“腳手架”的作用；問題2是問題1的逆問題，讓學生在拋物線上找滿足條件的點M；問題3是在動態過程中求三角形面積的最值，同前2個問題相比，對學生的思維有著更高的要求；問題4是問題2的變式，它改變了問題的呈現方式，突出了對學生進行問題本質的訓練，要求學生具有較高的模式識別能力。這4個問題有著很強的整體性，不但突出了問題的層次性，一步一個臺階，逐步深入遞進，而且體現了方法的遷移性，并始終強調三角形面積的求法。同時，問題的層次性也滿足了不同層次學生的需求，讓不同的學生都能從中感受到成功。因此，在編制問題串時，要堅持從特殊到一般，從靜態到動態進行設計，在變式中追求問題的新穎性。

【案例6】已知在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

對于這個問題，學生不難證明，但教學不能到此為止，可以引導學生進行多方面的探索。

問題1：本例除了教材的證明方法之外，你還能想出其他證明方法嗎？

問題2：分別順次連結以下四邊形的四邊的中點，所得到的是什么四邊形？從中你能發現什么規律？

（1）平行四邊形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）梯形；（6）直角梯形；（7）等腰梯形。

問題3：順次連結n（n≥3）邊形的各邊中點得到怎樣的n邊形呢？順次連結正多邊形的（各邊相等，各角也相等的多邊形）各邊的中點，得到的是什么多邊形？是正多邊形嗎？

問題4：分析例題添加輔助線的方法，從中你受到了什么啟發？能否得出在已知中點條件下添加輔助線的一些規律？

【評析】在課堂教學中教師要善于把教材中既定的數學知識轉化為問題，以展現知識的發生發展過程，借助具有內在邏輯聯系的問題設計，促使學生思考，逐步培養學生自己發現問題、分析問題和解決問題的能力，使學生真正成為知識的主動建構者。

四、用問題串，反思總結

由于數學思維就是解決數學問題的心智活動，思維過程總是表現為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，因此數學問題是數學思維目的性的體現，也是數學思維活動的核心動力。如果問題串的設計能從學生知識可接受性的實際出發，確定合理的難度和適當的思維強度，就能有效促進學生求異思維和發散思維的發展，引導學生自己進行思考、比較、思辨。如果再從數學方法論的角度，加入一些元認知的提示語，如：你認為該問題可能涉及哪些知識？解決該問題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒有？該問題的解決方法有推廣價值嗎？可推廣到哪些方面？還可以促進學生自己發現問題、提出問題，對數學有所感悟，實現學生思維深度參與的自動發生機制。

【案例7】探索三角形相似的條件（第1課時）

為使學生對本課時內容有一個完整而深刻的認識，教師在本節課結束時提出：

問題1：本節課在知識方面你有哪些收獲？

問題2：這節課你積累了哪些數學活動經驗？

問題3：在說理過程中，應注意什么？

對于問題1，學生說出“兩角對應相等的兩個三角形相似”的判定條件，以及這一結論是通過實驗的方法得到的。

對于問題2，學生可以反思類比猜想或操作驗證中的活動經驗。

對前者，課上類比三角形全等的判定，對判斷三角形相似的條件提出種種猜想，然后將猜想歸納整理為三類，即只與角有關的猜想，只與邊有關的猜想，與邊和角有關的猜想。這種類比猜想的方法在數學學習中也是經常使用的。

對后者，因為本課時只研究第一類猜想，而其又可細分為三個猜想。

猜想1：一個角對應相等的兩個三角形相似；

猜想2：兩個角對應相等的兩個三角形相似；

猜想3：三個角對應相等的兩個三角形相似。

對于猜想1，舉出反例就可說明不成立。

對于猜想2，設計驗證方案并進行驗證。

對于猜想3，根據三角形內角和，可將猜想3與猜想2化歸為同一個猜想。

其中涉及化歸的思想方法、操作實驗的研究方法。

對于問題3，利用“兩角對應相等的兩個三角形相似”解決問題時，學生要說出找到對應相等的兩對角，注意書寫的規范。

【評析】三個問題，給學生提出了明確的反思任務，包括數學知識方面、數學活動經驗和數學思想方法方面。在教學中如果經常設置這樣的教學環節，長此以往，學生將逐漸意識到反思的必要性。在課堂教學中，我們不能僅僅把學生置于“問題”之中，還要置于“反思他們的活動”之中，唯有反思，才能促進理解，從而更好地進行建構活動，實現良好的循環。

以上，談了在課堂教學中設計并運用有效“問題串”，實際上，課堂教學的每一個環節都涉及到“問題串”的設計與運用，只要我們加強研究，以“問題串”來梳理教學的脈絡，在這個平臺上，就一定會拓展教師和學生發展的空間，使我們的課堂永遠充滿活力。

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（作者單位：四川省宣漢縣中小學教學研究室）