擺角、擺長及周期數對測重力加速度的影響分析

翟鳳瑞, 李宇赤，易中周, 張黎黎, 王 丹

（1.紅河學院 理學院，云南 蒙自 661100；2.西雙版納職業技術學院，云南 景洪 666100）

擺角、擺長及周期數對測重力加速度的影響分析

翟鳳瑞1, 李宇赤2，易中周1, 張黎黎1, 王 丹1

（1.紅河學院 理學院，云南 蒙自 661100；2.西雙版納職業技術學院，云南 景洪 666100）

用單擺法測量重力加速度是普通物理實驗中常用的方法，但在實驗中，擺角、擺長和周期數常常對重力加速度的測量誤差產生一定的影響.文章主要分析不同擺角、擺長及周期數三個條件對測重力加速度的影響,最終由處理分析結果可知，在普通物理實驗室里，取擺角、擺長＝47或55cm、周期數 次，處理得到的重力加速度與本地的理論計算值很接近.

擺角；擺長；周期數；重力加速度

引言

地球對物體的萬有引力稱為重力，物體在重力作用下具有的加速度稱為重力加速度.重力加速度的數值，隨地理緯度和相對于海平面的高度不同而略有差異.一般說來，在赤道附近重力加速度的數值最小，越靠近南、北兩極，重力加速度的數值越大[1].重力加速度的測量方法有很多種，它們各有特點.其中單擺法裝置簡單, 測量手段便捷, 在普通物理學實驗教學中應用比較普及,也比較重要，而用此種測量方法來測重力加速度，其測量結果的精確性直接受到擺角、擺長及周期的影響，不同的測量條件將對重力加速度的測定產生不同的誤差[2].所以本文主要分析研究不同條件對用單擺法測重力加速度的影響，并最終確定一組適合本地測重力加速度的最佳測量條件，在實驗教學方面有重要意義.

1 實驗主要儀器

單擺法測重力加速度的實驗儀器見下表1：

表1 實驗儀器

2 實驗數據處理及分析

2.1 本地重力加速度值

根據蒙自的地理位置：經度：103°23′東，緯度：23°23′北，海拔：1302m，根據地球任意地方重力加速度的計算公式可得到蒙自本地重力加速度理論計算值為[3]：

2.2 不同擺角對重力加速度的影響

在溫度為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，實驗過程中固定擺長為40㎝，周期數取值為40次，用單擺三線擺組合儀、自由落體儀上安裝單擺裝置，改變擺角6次，各測量結果及數據處理見下表2、表3.

表2 不同擺角下的測量數據及處理

表3 不同擺角條件下的重力加速度值

綜合上述各擺角的重力加速度的測試結果，可得重力加速度與擺角之間的變化關系如下圖1所示.

圖1 重力加速度與擺角的關系

普通物理學中認為，單擺在小角度的振幅( 時)可以看成簡諧振動，用實驗的方法可以求出其振動的擺長與周期，進而可以測得重力加速度.但在實驗中不是擺角越小測量值越精確，當擺角很小時，操作引入的誤差增長更快.當單擺的角振幅較大時,單擺的運動和簡諧振動的差異增大，對測重力加速度產生的誤差增大，同時擺長的長短也將對重力加速度的測定帶來誤差.從圖1可知，在 為4°附近出現極值，并且越往兩端走重力加速度的值變化越大，其原因主要為：第一，當擺角增大時，擺球的速度隨之增大，此時空氣阻力已不可忽略；第二，當 增大時，計算公式中的高階項已不能省去；第三，擺角很小時動手操作反應誤差隨之增大.對照本地重力加速度的理論計算值可知，擺角一般選3.8°左右為最佳.

2.3 不同擺長對重力加速度的影響

在室溫為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，實驗過程中的擺角定為4°，周期數為40次，共改變擺長7次，各測量數據結果及處理見表4，不同擺長條件下測量計算出的重力加速度見下表5：

表4 不同擺長下的測量數據及處理

表5 不同擺長條件下的重力加速度

由表5結果可得重力加速度與擺長之間的變化關系下如圖2所示：

圖2 重力加速度與擺長的關系

在研究單擺周期與擺長關系時，擺長的取值受小球半徑的約束，它們之間的關系[4]是也就是的實驗中“依次縮短擺長”5次，所取擺長L必須滿足實際上L取值并非越大越好，因為L太大實驗條件不允許，空氣阻力也會變大，而且L的增大將會引起由于細線質量不能忽略出現的誤差.從圖2中可知：當擺長在45-55㎝之間變化時，引起的重力加速度改變很小，接近于本地重力加速度值，但越往兩端走，其重力加速度值偏離越明顯，在實驗中，由于實驗器材的限制，擺長不能過長，而過短則有小球的半徑約束，對照本地重力加速度值，在普通實驗室里一般取為47㎝或55㎝.這樣可以使在普通物理實驗中測量值更接近真實值.

2.4 不同周期數對重力加速度的影響

在溫度為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，取擺角為4°，擺線長為50㎝，用螺旋測微計測球的直徑d（小球不變），改變周期數 次所用的時間為 ，各測量結果及數據處理見下表6和表7：

表6 對不同周期數的測量數據處理

表7 對不同周期數重力加速度的值

由表7計算結果可得重力加速度與周期數之間的關系如下圖3：

圖3 周期數與重力加速度的關系

對于周期數的誤差主要來源不僅決定于秒表的精度，還決定于人的反應時間.人從擺球第一次經過平衡位置時按表開始，到最后一次擺球經過平衡位置時按表結束，兩次都存在反應時間.實驗中用停表計時，無論是機械停表，還是電子停表，應從計時絕對誤差來考慮，而不能單一從停表的最小分度值來考慮.計時絕對誤差主要由表的走時誤差、測量者對擺球到達平衡位置時刻的判斷、測試看的反應時間、停表的操作熟練程度和停表的啟動和制動性能諸多因素共同決定.從圖3可知：隨著周期數n的增加出現一個過渡階段，周期的誤差主要來源不僅決定于秒表的精度和決定于人的反應時間，而周期數越少誤差比例越大，但周期數也不能無限的增大，從實驗過程中可知道，由于空氣阻力的存在，在經過多次擺動后擺幅明顯減小，隨之引入的誤差增大.對照本地重力加速度計算值，在實驗室里周期數一般可選取37次.

3 結論

綜上對擺角、擺長及周期數對測量重力加速度的影響分析可以看出，擺角、擺長及周期數對重力加速度的測量都有很大的影響，擺角越大所產生的誤差也就越大，擺長過大或太小對測量結果的影響也比較大，周期數太大由于空氣阻力的影響就大.根據蒙自本地重力加速度理論計算值的比較結果知，取擺角 、擺長 cm、周期數 次時，測試結果與本地重力加速度的理論值非常很接近.

[1] 楊述武.普通物理實驗(力熱部分)第三版[M].北京：高等教育出版社,2005:69-111．

[2] 曾騰.用不確定度分析單擺的擺角與擺長對測重力加速度的影響[J].物理教學探討,2 0 0 6,2 4(3):33-34

[3] 姜向東,楊士君等.大學物理實驗[M].成都：西南交通大學出版社，2006:23-56.

[4] 鄭立.單擺實驗中擺長的討論[J].黃山學院學報,2006,8(3):39-40．

Influence and Analysis of Pendulum Angle, Pendulum Length and Periodicity on the Acceleration of Gravity

ZHAI Feng-rui1, LI Yu-chi2,YI Zhong-zhou1, ZHANG Li-li1, WANG Dan1
(1.College of Science, Honghe University, Mengzi 661100, China;2.Xishuangbanna Vocational and Technical Institute,Jinghong 666100,China)

It is an ordinary method to measure acceleration of gravity with a pendulum in physical experiments.But in the experiment,the pendulum angle, pendulum length and periodicity often have some influences on measurement errors of acceleration of gravity.This paper mainly analyzes the influences of pendulum angle, pendulum length and periodicity on the acceleration of gravity.It can be seen from the processing and analysis results that the value of acceleration of gravity by experiments is very close to the local acceleration theoretical value when the swing angle is 3.8 degrees, pendulum length is 47 cm or 55 cm and periodicity is 37 times.

pendulum angle; pendulum length; periodicity; acceleration of gravity

O4-3

A

1008-9128（2011）04-0019-04

2011-06-02

云南省教育廳科學研究基金資助項目（6y0038D）；紅河學院基金資助項目（XJ1Y0807）

翟鳳瑞（1978-），男，講師，碩士.研究方向：綠色復合材料及無機非金屬材料的研究.

[責任編輯 張燦邦]