怎樣在高中數學中應用二次函數

　　學生在初中階段已經初步學習了二次函數的知識，但是初中時期學生接受知識的能力有限，學習二次函數知識的方法很機械，不能從本質上加以理解和吸收.而進入高中階段后，特別是總復習的時候，學生對基本概念和性質不能靈活地加以運用，所以，對于二次函數的知識需要進一步地深入研究.
　　一、引導學生深入的理解二次函數的概念
　　在初中的時候學生就已經學習了函數的定義，但是在高中數學的集合基礎上又學習了映射，這樣就豐富了函數的概念，利用映射的知識進行函數概念的闡明，這時學生就可以用已有的知識來了解函數，尤其是可以用二次函數來加深對函數概念的認識.二次函數就是從一個集合A（定義域）到另一個集合B（值域）上的映射f：A→B，使集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應，記作f（x）=ax+bx+c（a≠0）.這里的ax+bx+c既表示對應的法則，又表示定義域中元素x在值域中的象.這就使學生對函數的概念有了一個明確的認識。當學生掌握了函數值的記號之后，就可以讓學生進一步地解決以下問題：1.已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.這里應把f（x+1）理解成自變量為x+1的函數值，不能把它理解成x=x+1時的函數值.2.設f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.這個問題應該這樣理解：在對應法則f下，對于定義域中的元素x+1的象是x-4x+1，求出定義域中的元素x的象，它的本質應該是求出對應的法則.一般有兩種方法：（1）把所給表達式表示成x+1的多項式.f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.（2）應用變量進行代換：這種方法適應性很強，可以適用于一般的函數.令a=x+1，則x=a-1，∴f（a）=（a-1）-4（a-1）+1=a-6a+6，所以f（x）=x-6x+6.
　　二、進一步研究二次函數的圖像與性質
　　在學習函數的單調性的時候，我們要把二次函數y=ax+bx+c在（-∞，-］及［-，+∞）兩個區間上的單調性的結論，教會學生用定義的方式進行嚴格的論證，使它能在嚴密理論的基礎上建立，再充分利用函數圖像的直觀性，進一步給學生增加適當的練習訓練，讓學生能逐步利用圖像來學習有關二次函數單調性的知識.如：請畫出下列函數的圖像，并要通過圖像研究它們的單調性。（1）y=x+2|x|-1；（2）y=x+2|x-1|-1；（3）y=|x-1|.在這里要讓學生注意這些函數與二次函數的聯系和差異.要學會能把含絕對值符號的函數用分段函數的方法表示出來，再畫出它的圖像.設函數f（x）=x-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值是g（t）.求出g（t）并且畫出y=g（t）的有關圖像.
　　解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時取最小值-2.
　　當1∈［t，t+1］即0≤t≤1時，g（t）=-2.
　　當t＞1時，g（t）=f（t）=t-2t-1；
　　當t＜0時，g（t）=f（t+1）=t-2.
　　∴g（t）=t-2（t<0）-2（0≤t≤1）t-2t-1（t>1）.
　　一般情況下，一個二次函數在實數集合R內，可能只有最小值，也可能只有最大值，不過如果定義域發生了變化，則取最大值還是最小值就不能確定了.為了使這方面的知識得到熟悉和鞏固，我們可以再做一些補充練習進行訓練，如：求函數y=3x-5x+6（-3≤x≤-1）的值域范圍.
　　三、利用二次函數的知識培養學生數學思維能力
　　例如：設二次函數f（x）=ax+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x，x滿足0　　解題思路：本題要證明的是x　　（1）先證明x　　而f（x）=ax+bx+c，因此有f（x）=a（x-x）（x-x）.
　　又因為00.
　　又有a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-x＞0.即證得x　　根據韋達定理，有xx=.∵0＜x＜x<，c=axx　　又c=f（0），∴f（0）f（0），因此，當x∈（0，x）時，f（x）　　（2）∵f（x）=ax+bx+c=a（x-）+（c-），（a>0），函數f（x）的圖像對稱軸為直線x=-，并且這是唯一的一條對稱軸.因此，根據題意得x=-，因為x，x是二次方程ax+（b-1）x+c=0的根，根據韋達定理得，x+x=-，∵x-<0，∴x=-=（x+x-）<，即x=.
　　總之，二次函數的外延和內涵非常豐富.二次函數作為最基本的冪函數，我們可以用它來研究函數的性質變化，從而能建立起函數方程與不等式間的聯系，可以演變出靈活多變的數學問題，以考查學生的數學基礎知識，培養學生的綜合數學素質，尤其是能從解題的深入程度中區分出學生解決數學問題的能力.