如何培養學生正確的解題思路

　　摘 要： 啟發學生自覺思維的過程、教給學生基本概念的過程，特別是教給學生基本定理的過程，也是教給學生正確思維的過程：每個概念的引入和建立，每個定理的產生、分析、證明和應用，每次知識框架的歸納、整理、完善和系統化工作，學生從中都可以受到最完整、最具體、最基本、最生動的邏輯思維的訓練.因此，盡力講好概念、定理、例題和做好知識的系統化工作，是培養學生正確解題思維的基本途徑.
　　關鍵詞： 逆向思維 分析綜合能力 解題思維 培養
　　
　　著名的數學家G?波利亞在《怎樣解題》中曾說：數學教學的目的在于培養學生的思維能力.我認為培養學生的思維能力應該注意以下幾點.
　　一、善于遵循循序漸進的原則
　　思維的發展，永遠是低級到高級，由淺入深的，因此教師在教學活動中就應當充分運用由簡到繁，由易到難，由已知到未知，由特殊到一般，由具體到抽象的原則來組織和講解教材，來提出和解決問題，來引入概念、證明定理，這是培養學生學習的主動性，發展學生邏輯思維的好方法.
　　教師在教學中不僅輸出信息，而且能夠有效反饋信息，有的放矢地調整自己所輸出的信息，使學生在原有的基礎上有所得.教師要根據學生的個性差異設計教學，教學各環節都應該考慮學生的現有知識與所授知識的“梯度”相吻合.
　　著名的數學家笛卡爾說，要善于把“所考查的每一個難題，都盡可能地分成細小的部分，直到達到可以圓滿解決的程度為止”.對于繁難問題，應教給學生剖析矛盾、轉化矛盾的方法：先把一個大問題變成小問題，把新問題變成舊問題一個緊接一個，一個更比一個接近我們的目標，直到我們能夠解決為止.這種“步步為營”的方法是循序漸進原則的主要應用.如：
　　例1：設函數f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2.試問在［-3，3］上f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說出理由.
　　分析：要從已知的條件直接求出f（x）的最大值是十分困難的，但可以把這個問題轉化成一些小的問題.
　　1.由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0，可以得出f（0）=0.
　　2.令y=-x與上一步結合得出函數f（x）是奇函數.
　　3.設0＜x＜x，則x-x＞0，由f（x-x）=f（x）+f（-x）且f（x）是奇函數，得出函數f（x）在［0，3］上是減函數.
　　4.由奇函數的性質知函數f（x）在［-3，3］上是減函數，所以有最大值f（-3）和最小值f（3）.
　　到此，問題得以解決，從以上分析過程我們可以看出這是一種把大問題變成小問題進而求解的好方法.
　　二、注重過程的點評，培養學生分析、綜合的思維能力
　　要培養和提高學生的數學邏輯思維能力，就必須把學生組織到對所學內容的分析和綜合，指導學生尋求正確思維方向的方法，培養邏輯思維能力.不僅要使學生認識思維的方向性，而且要指導學生尋求正確思維方向的科學方法.
　　分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.在數學解題中，分析法就是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件.
　　例2：設a，b是兩個正數，且a≠b，求證：a+b＞ab+ab.
　　證法1（分析法）：
　　要證a+b＞ab+ab
　　只需證（a+b）（a-ab+b）＞ab（a+b）
　　只需證a-ab+b＞ab（∵a+b＞0）
　　只需證a-2ab+b＞0
　　即需證（a-b）＞0
　　由已知a≠b所以a-b≠0顯然有（a-b）＞0，由此命題得以證明.
　　證法2（綜合法）：
/LsJYSaJe1tfr60dgqtYVTWj0RxxBJv/7mMSKzj50/s=　　因為a≠b，a＞0，b＞0，所以a-b≠0，a+b＞0
　　所以a-2ab+b＞0
　　所以a-ab+b＞ab，得（a+b）（a-ab+b）＞ab（a+b）
　　即證a+b＞ab+ab
　　綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛.
　　三、培養學生的逆向思維能力
　　逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式.敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象.當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維.人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法.其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化.
　　例如將概念、定理、公式、法則逆用，這些知識的逆向有時可達到化繁為簡，化難為易的效果.
　　又如在解題過程中，順推不行時考慮逆推；直接解決不行時考慮間接解決；探討可能性發生困難時考慮探討不可能等由此尋求出解決問題的方法，甚至產生意想不到的良好效果或者有新的發現.
　　例3：已知f（x）=x+px+q，求證：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于.
　　解法探討：因命題的結論包含的情況較多，用直接證明法便顯得繁雜困難，而其反面卻只有一種情況，用逆向思維可能是最佳解法.
　　假設原命題不成立，則有：
　　由得-＜2p+q＜-，這與（2）式相矛盾.故假設不成立，從而得知原命題是正確的.
　　逆向思維，從方面觀察事物，把問題變換一下處理，從非常規方面下手，由此尋求出解決問題的方法，甚至產生意想不到的效果或者有新的發現，此類例子自古以來就在生活、生產、學習甚至戰爭中閃爍出智慧之光.
　　任何活動都要遵守一定規則，而教學活動也應當遵守教學原則，只有這樣才能使教學活動有序進行.教學原則在教學理論中，是處于承上啟下的地位.所謂承上，是說教學原則是教學規律的反映；所謂啟下，是說教學原則是教學內容、組織教學、教學方法、考試、考查，以及教學工具的運用等一系列活動的依據.在教學過程中培養學生的思維的方法還有很多種，但是無論是哪一種方法和途徑，最根本的、相同的都離不開思維的訓練，所以需要我們在教學中不斷地研究和探討.
　　
　　參考文獻：
　　［1］徐汝成.辯證思維解題策略舉要.數學通報，2001.4.
　　［2］合理選擇解題思維起點的若干途徑.數學通報，1998.9.
　　［3］教學思想錄中學數學卷.1997.7.