基本不等式及其應用

　　摘 要： 基本不等式在高中數學中具有極其重要的地位，從知識體系角度說，基本不等式不僅本身就是一個重要的數學知識模塊，而且能與高中數學多個分支知識進行融合；從思維能力角度說，基本不等式是創造性與嚴謹性的有機結合、發散性思維與收斂性思維的辯證統一.本文從基本不等式的三個限制條件——“一正，二定，三等”入手，結合典型例題，探究基本不等式的運用，讓學生充分經歷知識的形成過程，從而形成自己對重難點的突破策略，培養學生的歸納、總結能力.
　　關鍵詞： 基本不等式 限制條件 最值 應用
　　
　　一、主干知識
　　1.基本不等式：≤或a+b≥2.
　?。?）基本不等式成立條件：a＞0，b＞0;
　　（2）等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號.
　　2.基本不等式的拓展：ab≤（），其中a，b∈R.
　　二、深入探究，加強理解
　　問題：設x＞0，求函數y=x+的最小值.
　　解析：∵x＞0“一正”
　　∴x+≥2=2“二定”
　　當且僅當x=，即x=1時，等號成立.“三等”
　　故函數y=x+的最小值為2.
　　點評：在應用基本不等式時，要把握三個限制條件，即“一正——各項都是正數；二定——和或積為定值；三相等——等號能取得”，這三個條件缺一不可．
　　探究1：設x＜0，求函數y=x+的最大值.
　　解析：∵x＜0，∴-x＞0，
　　∴x+=-（-x+）≤-2=-2，
　　當且僅當-x=，即x=-1時，等號成立.
　　故函數y=x+的最大值為-2.
　　變式：設x≠0，求函數y=x+的值域.
　　解析：∵x≠0，∴|x|＞0，
　　∴|x+|=|x|+≥2=2，
　　當且僅當|x|=，即x=±1時，等號成立.
　　∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函數y=x+的值域為（-∞，-2］∪［２，＋∞）.
　　另解：用分類討論的方法（x≠0，分x＞0和x＜0兩種情況）.
　　點評：培養學生等價轉化的思想，如何創造條件滿足“一正——各項都是正數”.
　　探究2：設a＞1，求a+的最小值.
　　解析：∵a＞1，∴a-1＞0，
　　∴a+=a-1++1≥2+1=3，
　　當且僅當a-1=，即a=2時，等號成立.
　　故a+的最小值為3.
　　變式：設0＜a＜1，求的最大值.
　　解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0，
　　∴=?≤?=，
　　當且僅當a=1-a，即a=時，等號成立.
　　故的最大值為.
　　點評：運用基本不等式求最值的焦點在于湊配“和”與“積”，即滿足“二定——和或積為定值”，并且在湊配過程中就應考慮到等號成立的條件.
　　探究3：設t≥2，求t+的最小值.
　　分析：本題不滿足限制條件：“三相等——等號能取得”，故不能用基本不等式.
　　解：由雙鉤函數y=t+的圖像及性質，易知函數y在［2，+∞）上是增函數，
　　當t=2時，t+的最小值為2.
　　變式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值.
　　錯解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2
　　∴+≥2=≥8
　　∴+的最小值8.
　　錯因：多次用到基本不等式，能否取等號，當且僅當x=y，=，又x+y=1，但x，y無解.
　　正解：∵x＞0，y＞0，
　　∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4
　　當且僅當=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2時，等號成立.
　　故+的最小值為7+4.
　　知識遷移：已知0＜x＜1，求+的最小值.
　　解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，
　　∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4，
　　當且僅當=，即x=2-3時，等號成立.
　　故+的最小值為7+4.
　　點評：運用基本不等式求最值時，應考慮到等號成立的條件.有些題目在拼湊過程中，注意通過“1”變換或添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次.
　　三、高考回放
　　A組
　　1.（2009年湖南高考10）若x＞0，則x+的最小值為?搖 ?搖.
　　2.（2010年重慶高考12） 已知t＞0，則函數y=的最小值為?搖 ?搖.
　　3.（2011年重慶高考7）若函數f（x）=x+（x＞2）在x=a處取最小值，則a=（ ）
　　A.1+ B.1+ C.3 D.4
　　A組命題意圖：主要考查靈活應用基本不等式求最值的知識，解決此類問題時，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可.
　　B組
　　1.（2009年重慶高考7）已知a＞0，b＞0，則++2的最小值是（ ）
　　A.2 B.2 C.4 D.5
　　2.（2010年四川高考11）設a＞b＞0，則a++的最小值是（ ）
　　A.1 B.2 C.3 D.4
　　3.（2011年天津高考12）已知loga+logb≥1，則3+9的最小值為___________.
　　B組命題意圖：主要考查應用基本不等式探求最值問題，解答過程中經過幾次的放縮才能達到目的，充分體現了試題思維的層次性.
　　C組
　　1.（2009年天津高考9）設x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，則+的最大值為（ ）
　　A.2 B. C.1 D.
　　2.（2010年山東高考14）已知x，y∈R，且滿足+=1，則xy的最大值為___________.
　　3.（2011年浙江高考16）若實數x、y滿足x+y+xy=1，則x+y的最大值是___________.
　　C組命題意圖：主要考查基本不等式的推廣ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的應用.
　　從近幾年的高考試題來看，利用基本不等式求函數的最值、證明不等式、解決實際問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中低檔題；客觀題突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等號的條件及運算能力；主觀題考查較為全面，在考查基本運算能力的同時，又注重考查學生的邏輯推理能力及等價轉化、分類討論等思想方法．預測2012年高考仍將以求函數的最值為主要考點，重點考查學生的運算能力和邏輯推理能力．
　　
　　參考文獻：
　?。?］孫翔峰主編.三維設計高考總復習新課標.光明日報出版社，2011.4.
　?。?］杜志建主編.2007—2011新高考5年真題匯編.新疆青少年出版社.