一道競賽題的解法及其推廣研究

　　1956年全國首次數學競賽在四個城市舉行，當時引起了廣泛的關注.本文對北京市該次數學競賽第二試試題中的第七題給出了幾種解法，并對其進行了推廣、研究.
　　原題如下：求方程x-2xsin+1=0的所有根.
　　解法一：由于“1”的特殊性，將原題中的“1”拆分，并配方.
　　x-sin+cos=0
　　因為x-sin≥0，且cos≥0
　　所以x-sin=0………（1）cos=0………（2）
　　由（1）知|x|=|xin|≤1
　　由（2）知=+kπ?圯x=1+2k，k∈z
　　由（1）、（2）得x=±1
　　解法二：x-2xsin+1=0
　　解：方程的解x≠0，否則若x=0，則1=0，矛盾.
　　原方程可變形為sin=
　　由正弦函數的有界性和均值不等式可得
　　1≥sin=≥1
　　所以sin=±1
　　把sin=±1代入原方程解得x=±1
　　解法三：“配方法”
　　x-2xsin+sin+1-sin=0
　　即（x-sin）+1-sin=0
　　x-sin=0………（1）1-sin=0………（2）
　　由（1）得x=sin，由（2）得sin=±1，所以由（1）、（2）得x=±1即為原方程的解.
　　以上三種解法反映了題目的結構特征，現做如下深入探究及推廣.
　　推廣1：改變方程的系數：ax±2abxsin（x）+b=0（a≠0，b≠0），是否仍然成立？
　　證明：將原方程變形為（ax-bsin）+bcos=0
　　得ax-bsin=0………（1）cos=0………（2）
　　由（2）推得sin=±1，代入（1）式得x=±
　　同理可考慮ax+2abxsin（x）+b=0
　　推廣2：方程x-2xsin+1=0的解情況為：
　　（1）當k≠±2時，方程無解；
　　（2）當k=±2時，方程有解，且為x=±1.
　　證明：方程變形為x-sin+cos=0
　　可得：
　　x-sin=0cos=0?圯x=sin=+nπ（k∈z）?圯x=±1x=+nk（k∈z）
　　如果k≠±2，方程x=±1x=+nk（k∈z）無解.
　　∵當k≠±2時，|x|≥2
　　∴x≠±1
　　所以可得出結論，原題中“sin”中πx的系數僅限于±，即k=±2.
　　推廣3：由于正弦函數與余弦函數有相同之有界性，故產生問題：將方程中正弦函數換成余弦函數，結論成立嗎？
　　方程x-2xcos+1=0是無解的，
　　證明：首先x=0不是方程的解，原因同上.
　　將方程變形為cos=
　　1≥cos=≥1
　　代入原方程，解得x=±1，和cos=±1矛盾.所以原方程無解，不能做如此推廣.
　　相同之方法亦可證方程ax+2abxcos（x）+b=0（