集合中的易錯題示例

　　摘 要： 集合是高中數學的基礎，也是高考的常考內容之一，所以讓學生學好這一章是很有必要的。作者在教學過程中發現學生在解題過程中很容易出現一些錯誤，歸納起來有四點，本文將通過幾個典型例題來說明。
　　關鍵詞： 元素 集合 易錯題
　　
　　集合是高中數學的基礎，也是高考的常考內容之一，所以讓學生學好這一章是很有必要的.我在教學過程中發現學生在解題過程中很容易出現一些錯誤，歸納起來有四點，本文將通過幾個典型例題來說明.如有不妥之處，歡迎大家批評指正.
　　一、元素與集合，集合與集合之間的符號易混淆
　　例1.若M={x|3≤x≤4}，a=π，則下列關系正確的是（ ）
　　A.a?奐M B.a?埸M C.{a}∈M D.{a}?奐M
　　分析：誤選C常見.
　　元素與集合之間的符號有∈，?埸兩種，集合與集合之間的符號有?奐，?勱，?哿，?勐，?埭，∪，∩，=.元素與集合之間只有屬于和不屬于兩種關系，而集合與集合之間有包含、真包含、等于、不包含、不真包含等關系，不能混淆.
　　二、忽視代表元素的屬性致錯
　　例2.已知集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=-x+1，x∈R}，則M∩N是（ ）
　　A.{0，1} B.{（0，1）} C.{1} D.非以上情況
　　分析：誤選B常見.
　　由y=x+1y=-x+1解得，注意到代表元素的屬性，M、N都是數集，是函數值域，而不是點集.
　　∴M={y|y≥1}，N={y|y≤1}
　　∴M∩N={1}
　　∴C正確.
　　三、忽視空集致錯
　　例3.已知A={x|x+（p+2）x+1=0，x∈R}，A∩R=?覫，求實數p的取值范圍.
　　錯解：因A∩R=?覫，則方程x+（p+2）x+1=0無正實根.
　　∴Δ=0?圯（p+2）-4≥0?圯p≤-4或p≥0-（p+2）＜0?圯p＞-2
　　∴p的取值范圍為{p|p≥0}.
　　剖析：集合A是方程x+（p+2）x+1=0的解集，則由A∩R=?覫，可得兩種情況：
　　（1）A=φ，則由Δ=（p+2）-4＜0，得：-4＜p＜0.
　　（2）方程x+（p+2）x+1=0無正實根.則Δ=0-（p+2）＜0或Δ＞0-（P+2）＜0（xx=1＞0），于是p≥0.
　　例4.若集合M={x|2x-5x-3=0，x∈R}，N={x|mx=1，x∈R}，且N?奐M，求實數m的取值范圍.
　　錯解：M=，3，N=x|x=
　　∴=-或=3
　　∴m=-2，m=.
　　分析：上面的解法漏掉了N=?覫，即m=0時的情形.而?覫是任何非空集合的真子集，也滿足題意.∴m=-2，m=或m=0.
　　例5.集合A={x|x-2x-3=0，x∈R}的所有子集的個數?搖?搖?搖?搖.
　　錯解：子集為{3}，{-1}，{3，-1}，共3個.
　　分析：漏掉了?覫，故應為4個.
　　四、不注重檢驗致錯
　　例6.已知a∈R，集合A=｛-3，a，a+1｝，B=｛a-3，2a-1，a+1｝，若A∩B=｛-3｝，求A∪B.
　　錯解：因A∩B=｛-3｝
　　∴-3∈A，-3∈B
　　故a-3=-3或2a-1=-3或a+1=-3（無解）
　　故a=0或a=-1∴A∪B={-3，0，1，-1}或A∪B={-3，-4，0，1，2}.
　　分析：當求出a=0或a=-1后，應該檢驗一下這兩個值是否都符合題意.事實上，當a=0時，A={-3，0，1}，B={-3，-1，1}，A∩B={-3，1}與題設A∩B=｛-3｝矛盾，故a=0要舍去.
　　當a=-1時，A={-3，1，0}，B={-4，-3，2}，A∩B={-3}符合題意，所以A∪B={-3，-4，0，1，2}.
　　例7.含有三個實數的集合可表示為｛a，1，｝，也可表示｛a，a+b，0｝，求a+b的值.
　　錯解：因｛a，1，｝=｛a，a+b，0｝，故a=0或=0.
　　又因中a≠0，∴b=0，故上面的集合為{a，1，0}=｛a，a，0｝
　　∴a=1，a=±1，
　　∴a+b=（±1）+0=1.
　　分析：上面的解答在解出a=±1時沒有檢驗.事實上，當a=1時，集合就成為{1，1，0}違背了集合元素互異性的原則，故a≠1.當a=-1時，集合就是{-1，1，0}符合題意.
　　故a=-1，b=0，
　　∴a+b=（-1）+0=1.
　　總之，集合這部分知識貫穿于高中數學的始終，滲透到高中數學的各個數學分支，既是高考考查的重點、熱點內容，更是學習后繼課程必備的基礎工具，因此對集合的學習不能等閑視之.我認為老師在講這部分時，一定要讓學生特別注意上面的幾類問題，多做練習，認真總結，這樣學生學起來一定會事半功倍.