利用構造法求數列通項公式的常見題型與解法分析

　　摘 要: 數列是高考的熱點內容，也是進入大學學習高等數學的基本工具。縱觀歷年全國各地高考數學試題，幾乎都會涉及數列的題型，而這類題型一般都會要求考生求出數列的通項公式。在近幾年的高考數學試題中，命題趨勢逐漸趨向利用“構造法”求數列的通項公式。如何針對這種題型獲得快速解決問題的技巧，這需要考生在平日備考中掌握利用構造法求數列通項公式的常見題型與解法。
　　關鍵詞： 數列 通項公式 構造法 常見題型 解法分析
　　
　　一、題型：形如“a=pa+q”的遞推關系
　　求解策略：由于遞推關系a=pa+q不是普通的等差、等比數列關系，我們可以構造新數列：a+x=p（a+x），根據系數關系有：（p-1）x=q，則可求出x，所以數列{a+x}是以首項為a+x，公比為p的等比數列，于是有a+x=（a+x）p，所以a=（a+x）p-x.
　　例題：已知數列{a}滿足a=1，a=a+1，求數列{a}通項公式.
　　解析：結合題型的求解策略，構造新數列：a+x=（a+x），即a=a-x，利用待定系數法得：-x=1，即x=-3，所以數列{a-3}是以首項為a-3=2，公比為的等比數列，即有a-3=（a-3）（），所以a=3-2?（）.
　　二、題型變式一：形如“a=pa+q”的遞推關系
　　求解策略：設想構造新數列：a+xq=p（a+xq），根據系數關系有：（p-q）x=1，則可求出x，即數列{a+xq}以首項為a+xq，公比為p的等比數列，即有a+xq=（a+x）p，所以a=（a+xq）p-xq.
　　例題：已知數列{a}滿足a=1，a=3a+2，求數列{a}通項公式.
　　解析：結合變式一的求解策略，構造新數列：a+x?2=3（a+x?2），于是有a=3a+x?2，利用待定系數法可得：x=1，即數列{a+2}是以首項為a+2=3，公比為3的等比數列，于是有a+2=（a+2）?3，所以a=3-2.
　　三、題型變式二：形如“a=pa+qa”的遞推關系
　　求解策略：設想構造新數列：a+xa=y（a+xa），根據系數關系則有：y-x=p，xy=q，則可求出和，即數列{a+xa}是以首項a+xa，公比為y的等比數列，于是有a+xa=（a+xa）y，這種題型需要根據x，y的具體值才可以求出數列的通項.
　　例題：已知數列{a}滿足a=2，a=3，a=a+a，求數列{a}通項公式.
　　解析：結合變式二的求解策略，設想構造新數列：a+xa=y（a+xa），即a=（y-x）a+xya，利用待定系數法可得：y-x=，xy=，即x=-1，y=-（或x=，y=1，結果一樣）.于是a-a=-（a-a），即數列{a-a}是以首項a-a=1，公比為-的等比數列，即a-a=（-），由n的不同取值得出不同表達式，利用疊加法有a-a+a-a+…+a-a=（-）+（-）+…+（-），消去中間一些項可得：a-a=［1-（-）］，所以a=-（-）.
　　四、題型變式三：形如“a=k（a=k?a）”的遞推關系
　　求解策略：由遞推關系a=k?a可知，等式的右邊含有指數（分數），一般指數是分數的形式，可利用對數函數的性質，兩邊取以k為底的對數，即：loga=log（k?a），得：loga=1+loga，這種情形可以構造新數列：loga+x=（loga+x），根據系數關系有：-x=1，得x=-2，即數列{loga-2}以首項為loga-2，公比為的等比數列，于是logka-2=（loga-2）（），所以a=k（）.
　　例題：已知數列{a}滿足a=1，a=2，求數列{a}通項公式.
　　解析：遞推關系a=2=2?a，結合變式三的求解策略，等式兩邊同時取以2為底的對數，即loga=log（2?a），即loga=loga+1，這種情形可以構造新數列：loga+x=（loga+x），即loga=loga-x，利用待定系數法得：-x=1，即x=-2，所以數列{loga-2}是以首項為loga-2=-1，公比為的等比數列，于是有loga-2=（loga-2）（），所以a=2.
　　小結：解答這類題型的一般步驟為：
　　以上主要列舉了四種利用“構造法”求數列通項公式的常見題型及其解法分析，每種題型各具特點，同時彼此之間又相互聯系.根據數列求通項公式的題型，考生也可以選擇利用“數學歸納法”進行求解.在備考過程中，考生多掌握一種解題方法，這不僅可以發散個人的思維，而且可以提高自身的應試能力.通過這些總結分析，希望能對考生有所幫助，同時也祝愿各位考生在考試中取得好成績.