例談數列通項公式的求解策略

　　摘 要： 求數列的通項公式是高中數學教與學的重點和難點，它方法靈活、技巧性強，學生往往難以把握。本文總結出幾種常見的求數列通項公式的方法，讓同學們在具體的實例中去具體體會，去感悟如何根據問題的特征來選擇具體的解法。只有這樣，才能從整體上去把握問題特征，掌握解題要領。
　　關鍵詞： 數列 通項公式 求解策略
　　
　　一、定義法
　　當已知數列為等差數列或等比數列時，可直接利用等差數列或等比數列的定義求出通項公式.
　　【例】已知等差數列{a}中，a=，s=-5，a=-，求a.
　　解：由題意得
　　s=n+d=-5 （1）a=+（n-1）d=-（2）
　　由（2）得（n-1）d=-，代入（1）可得n=15，從而d=-，所以a=+（n-1）×（-）=.
　　二、觀察法（又叫猜想法、不完全歸納法）
　　觀察數列中各項與其序號間的關系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構成規律寫出通項公式.關鍵是找出各項與項數的關系.
　　【例】已知數列-1，，-，，…寫出數列的一個通項公式.
　　解：將此數列變形為：-，，-，，…通過觀察變形找到其規律，得出數列的通項公式為a=（-1）.
　　注：用不完全歸納法，只是從數列的有限項通過觀察而得到數列所有項的通項公式，不一定可靠.如從數列2，4，8，…可得a=2n或a=n-n+2兩個不同的通項公式（從第四項開始便不同）.
　　三、公式法（已知數列{a}的前n項和s求通項公式）
　　這類題目比較簡單，一般都是利用a=a（n=1）s-s（n≥2）， 求{a}后要注意驗證是否能用一個統一的公式來表示.［1］
　　【例】數列{a}的前n項和為s，且a=1，a=s，n=1，2，3…，求數列{a}的通項公式.
　　解：因為a=s-s所以3s-3s=s，=，所以{s}是以s=1為首項，q=為公比的等比數列.所以s=，則a=s-s=?（n≥2）.
　　經驗證：n=1時，兩式不能統一，所以a=1（n=1）（n≥2）.
　　點評：先利用a與s的關系，找出s的表達式，再求a.
　　四、構造新數列法
　　由遞推關系得出數列通項公式的方法多樣，累加法、累積法、構造法、迭代法是常用的構造法.對于較復雜的數列可試著用如下方法求通項公式.
　　1.累加法（又叫疊加法）
　　一般的，對于形如a=a+f（n）類數列的通項公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進行求和，則宜采用此方法求解.
　　【例】已知數列{a}中，求a=1，a=a+，n≥2，求a.
　　解: a-a==-a-a=-…a-a=1-a=1
　　累加得a=2-.
　　2.累積法（又叫迭乘法）
　　一般的，對于形如=f（n）類數列的通項公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進行求積，則宜采用此方法求解.
　　【例】已知數列{a}滿足a=1，a=a+2a+3a+…（n-1）a，n≥2.求數列通項公式a.
　　解：由題可知：a=a+2a+3a+…（n-1）a，a=a+2a+3a+…（n-2）a，兩式相減可得：a-a=（n-1）a（n≥3），即a=na，所以a=??…?a=n×（n-1）×（n-2）×…×2，即a=n!.
　　3.構造法
　　利用數列{a}中的a構造新的數列{b}使之成為等差或等比數列，再求a.常見模型歸納如下.
　　①a=pa+f（n），p≠1，f（n）為冪函數
　　【例】在數列{a}中，a=1，a=3a+2?3，求a.
　　解：由a=3a+2?3得=+，則為公差是的等差數列.
　　所以=+（n-1）?即a=3（n+）.
　　②a=pa+q（p≠1，p，q為非零常數）可用待定系數法
　　【例】已知數列{a}中，a=1，a=2a+1，求a.
　　解：設a-t=2（a-t）即a=2a-t，故t=-1，原式可變為a+1=2（a+t），所以{a+1}為首項為a+1=2，公比為2的等比數列，所以a+1=2，即a=2-1.
　　③a=（p，q為常數）型
　　【例】已知數列{a}滿足，a=1，a=求a.
　　解：將a=兩邊取倒數，變形為：=×+，即+1=（+1）.
　　所以+1是首項為+1=2，公比為的等比數列.所以+1=2?（），即a=.
　　④取對數轉化為等比數列a-p=（a）（p，t為常數）［2］
　　【例】已知數列{a}中，a=3，a=（a-1）+1，求a.
　　解：由條件可知a-1=（a-1），兩邊同時取對數得lg（a-1）=2lg（a-1），即=2，所以{lg（a-1）}是首項為lg（a-1）=lg2，公比為2的等比數列，所以lg（a-1）=2lg2，所以a=2+1.通過取對數達到降次的目的，使原來的遞推關系轉化為等比關系.
　　⑤通過取方根轉化為等比數列
　　【例】已知f（x）=x+2+2（x≥0），a=2設數列每項都滿足a=f（a），求a.
　　解：因為f（x）=x+2+2（x≥0），所以a=f（a）=a+2+2=（+），又a＞0，兩邊同時取平方根，得=+，所以，{}為公差為的等差數列.所以=（n-1），即a=2n.
　　⑥a=pa+qa（p，q為非零常數）型
　　【例】在數列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求數列{a}的通項公式.
　　解：由a=a+a兩邊減去a得a-a=-（a-a），所以{a-a}是以a-a=1為首項，-為公比的等比數列，所以a-a=（-），再用累加法求通項公式.
　　⑦a+t=（p，q，r為非零常數）型
　　【例】數列{a}滿足a=2，a=，求a.
　　解：對等式兩端同時加參數t，得：a+t=+t=（2t+5）?，令t=，解之得t=-1，2，代入a+t=（2t+5）?，a-1=3×，a+2=9×.相除得：=×，即是首項為=，公比為的等比數列，即=×3，解得a=.
　　五、數學歸納法
　　有時一個數列可以由已知條件求出數列的前幾項，通過“觀察法”，就可以歸納猜想出數列的通項公式，然后再用數學歸納法證明之.這種方法是可靠的.［３］
　　【例】已知數列{a}滿足a=1，a=，求數列{a}的通項公式.
　　解：a=1，a=，a=，a=，a=，猜想a=.
　　現用數學歸納法證明:
　　（ⅰ）當n=1時，a==1成立；
　　（ⅱ）假設n=k時，a=.當n=k+1時，因為a===.
　　由（ⅰ）（ⅱ）得a=對n∈N都成立.
　　六、倒數法
　　數列有形如f（a，a，a，a）=0的關系，可先求得，再求得a.［４］
　　【例】已知數列{a}中，a=1，a=，求數列{a}的通項公式.
　　解：由遞推關系變形得=2+，故數列是等差數列，其首項是1，公差是2，所以=1+（n-1）×2=2n-1，即a=.
　　以上各例雖然是一些具體的例子，但它們往往可以應用于一般情形.數列通項公式的這幾種求法，在以上例題中可以看到沒有一定的界限，如“數學歸納法”法是“觀察法”的延伸，而有的題目往往用到多種求法，有的例題中出了用到了構造法還用了公式法.我們可以看到，求數列通項公式雖然具有很強的技巧性，但是并沒有離開我們所學的基本知識與技能、基本思想與方法.因此在平日教與學的過程中，既要加強基本知識、基本方法、基本技能和基本思想的學習，又要注意培養和提高數學素質與能力和創新精神.注意多加總結和反思，注意聯想和對比分析，做到觸類旁通.這樣即使題目再靈活，技巧性再強，做起來亦能得心應手.
　　參考文獻：
　　［1］韓保樹.數列通項公式的常見求法，科技資訊，2007，（10）.
　　［2］孫坤菊.解題方法與技巧，中學教學參考，2009.4.
　　［3］劉家勇.數列的通項公式的求法，數理化學習，2008，（12）.
　　［4］陳秀英.數列通項公式的十種求法，高教前沿，2009-8.