首發(fā)命中的數(shù)學(xué)模型解析及驗(yàn)證

　　摘 要： 文章從彈著點(diǎn)散布的統(tǒng)計(jì)理論出發(fā)，研究了擊毀目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)這一模型推出首發(fā)命中擊毀目標(biāo)的數(shù)學(xué)依據(jù)，最后對數(shù)學(xué)模型行了數(shù)學(xué)驗(yàn)證。
　　關(guān)鍵詞： 首發(fā)命中 射擊效率 數(shù)學(xué)模型
　　
　　現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，首發(fā)命中不僅能提高第一時間摧毀敵目標(biāo)的概率，而且對于整個戰(zhàn)局起著至關(guān)重要的作用。在一定條件下大量重復(fù)射擊，其彈著點(diǎn)總是圍繞著某一點(diǎn)散落的，這些點(diǎn)密集在此點(diǎn)的周圍，我們稱這一點(diǎn)為散布中心；經(jīng)過大量的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，這種彈著點(diǎn)的散布是服從正態(tài)分布規(guī)律的。假如我們考慮的是平面散布，目標(biāo)的位置在坐標(biāo)原點(diǎn)，那么，彈著點(diǎn)對目標(biāo)的偏離，可以用兩個隨機(jī)變量加以描述。對于這類平面散布，在正態(tài)分布的假設(shè)下，可設(shè)它的概率密度為φ（x、y）
　　φ（x，y）=e
　　其中（μ，μ）為散布中心，也即平均彈著點(diǎn)位置的坐標(biāo)。由于靶心在原點(diǎn)，因此（μ，μ）稱為系統(tǒng)誤差。σ和σ分別為沿O軸與O軸的均方差。此時，彈著點(diǎn)的坐標(biāo)為
　　x=μ+ε，y=μ+ε
　　ε，ε是隨機(jī)誤差，它隨著各次射擊而隨機(jī)改變。顯然，射擊條件相同時，系統(tǒng)誤差μ，μ應(yīng)不變化。
　　對于神槍手來說，或在比較規(guī)范的射擊條件下，散布中心往往與靶心相一致。故若設(shè)（μ，μ）=（0，0），則
　　φ（x，y）=e
　　如果隨機(jī)變量x、y是相互獨(dú)立的，那么
　　φ（x、y）=φ（x）φ（y），
　　其中
　　φ（t）=e
　　這里t為某隨機(jī)變量。在此情況下，彈著點(diǎn)散布函數(shù)為F（x、y），且
　　F（x，y）=F（x）F（y）
　　其中
　　系統(tǒng)誤差μ，μ，均方誤差φ，φ等均稱為散布特征。
　　在討論首發(fā)命中時，必須涉及“擊毀”這一概念。因?yàn)橹挥袚魵撤降哪繕?biāo)，才能使對方的戰(zhàn)斗能力完全喪失。有一些射擊可能只有在直接命中目標(biāo)的情況下，才能擊毀目標(biāo)；而另一些射擊在目標(biāo)附近的某個距離范圍內(nèi)爆炸也能擊毀目標(biāo)。我們引進(jìn)一個概念：目標(biāo)擊毀率，它是指當(dāng)一定數(shù)量的帶觸發(fā)引信的戰(zhàn)斗部在直接命中目標(biāo)時，或觸發(fā)引信的戰(zhàn)斗部在某點(diǎn)爆炸時擊毀（殺傷）目標(biāo)的條件概率，記作G（K）。
　　然而，擊毀率G（K）是比較復(fù)雜的，它與（所射彈丸的）戰(zhàn)斗部威力、目標(biāo)的易損程度、彈著點(diǎn)、引信的動作特點(diǎn)有關(guān)。
　　G（K）定義：
　　G（K）=1-（1-α）
　　其中α表示一發(fā)射彈擊中目標(biāo)時的目標(biāo)被毀率，K是擊中的彈的發(fā)數(shù)。若假設(shè)命中彈對目標(biāo)沒有損傷積累，也即各發(fā)彈擊毀目標(biāo)的事件相互獨(dú)立，并且每次命中目標(biāo)的毀傷概率相同，則擊毀目標(biāo)的射彈平均數(shù)（期望數(shù)）應(yīng)為
　　E=1+［（1-a）+（1-a）+…］=
　　若用A表示“擊毀目標(biāo)”這一事件，則該概率應(yīng)記作W=P（A）。設(shè)用武器直射目標(biāo)時，目標(biāo)被毀概率用G（K）表示。假設(shè)對某單個目標(biāo)射擊n次而有m發(fā)彈擊中目標(biāo)的概率是P，又設(shè)有一發(fā)彈命中目標(biāo)、兩發(fā)彈命中目標(biāo)，所有n發(fā)彈都命中目標(biāo)等諸事件是互不相容的，那么
　　W=P（A）=PG（m）
　　讓我們舉個例子。設(shè)有某軍事設(shè)施，它的幅員可劃分成三個部分：Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)、Ⅲ區(qū)，其中Ⅰ區(qū)為要害部分，占30%；Ⅱ區(qū)為次要害部分，占20%；Ⅲ為非致命部分，占50%。攻擊Ⅰ區(qū)，只需1枚某型導(dǎo)彈即可將該設(shè)施摧毀；攻擊Ⅱ區(qū)需同型號導(dǎo)彈2枚；而攻擊Ⅲ區(qū)至少需同型號導(dǎo)彈3枚。現(xiàn)向該設(shè)施發(fā)射同型號導(dǎo)彈4枚，設(shè)命中1、2、3、4枚的概率分別是P=0.3，P=0.35，P=0.20，P=0.15，試計(jì)算該軍事設(shè)施的被毀概率W。
　　實(shí)際上，只需算出G（K）（K=1，2，3，4）便可得到W，因?yàn)棰駞^(qū)只有中1枚導(dǎo)彈才算被毀，而Ⅰ區(qū)所占面積為30%，所以G（1）=0.30。發(fā)射2枚時，必須至少有Ⅰ枚擊中Ⅰ區(qū)或2枚均擊中Ⅱ區(qū)，所以
　　G（2）=1-（1-0.3）+0.2=0.55
　　3枚命中而該設(shè)施未被擊毀的情況，只有在1枚中Ⅱ而2枚擊中Ⅲ區(qū)時才可能出現(xiàn)，所以G（3）=1-3×0.2×0.5=0.85。
　　由于擊中Ⅲ區(qū)3枚以上即可將該設(shè)施摧毀，因此，只要4枚均命中，在任何情況下該設(shè)施均會被摧毀，因此G（4）=1G，從而有
　　W=PG（m）=0.603
　　從這一結(jié)果可以看出，首發(fā)命中對摧毀目標(biāo)的概率非常重要。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］蔣澤軍.模糊數(shù)學(xué)教程［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007.
　　［2］葉義成.系統(tǒng)綜合評價技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，2006.