立足課堂教

　　摘 要： 教師在教學中更要引導學生在學習過程中學會發散思維，即會轉換思考角度、轉變思維方式，用不同的思路從不同的途徑來掌握知識.本文作者就課堂教學中如何培養學生的發散思維能力談談個人的幾點體會和認識.
　　關鍵詞： 課堂教學 概念教學 變式教學 情境創設 發散思維
　　
　　發散思維是對已知信息進行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識或發現多種解答和多種結果的思維方式.
　　新的《數學課程標準》明確指出，應使學生“具有創新意識，能獨立思考，勇于有根據地懷疑，養成尊重事實，大膽想象的科學態度和科學精神”.“發散”是一種能力，即一個人發現問題、提出問題和解決問題的能力；“發散”又是一種思維活動，是智力思維能力的綜合反映.而正確培養和拓展學生的發散思維能力，對強化其創新意識，提高其數學素質有著舉足輕重的作用.因此，教師在教學中要引導學生在學習過程中學會發散思維，即會轉換思考角度、轉變思維方式，用不同的思路從不同的途徑來掌握知識.這不僅有利于提高學生的靈活性、多面性與創造性，還有利于培養開拓型人才.我就課堂教學中如何培養學生的發散思維能力談談幾點體會和認識.
　　一、深化數學概念教學，形成知識網絡，做好知識準備
　　數學概念是整個數學知識結構的基礎，是數學思想方法的載體.學生對基礎概念理解得深淺，掌握得透徹與否，將直接影響其在解題過程中思維的準確性和廣闊性.所以，在教學中，學生對概念的掌握必須做到“四要”：一要了解概念的產生過程和背景；二要準確表述概念的內容（其中包括文字表述，符號表述，圖形表述）；三要深刻挖掘的內涵和外延（即條件限制的挖掘，特殊情形的挖掘，思想方法的挖掘）；四要學會普遍聯系，揭示規律，明確概念所帶來的解題中思維的關鍵點（也即思維發散的關鍵點）.例如：在教學“直線與圓的位置關系”的概念時，首先可以通過直觀教具顯示直線與圓存在幾種位置關系，讓學生了解概念的必要性.同時讓學生回顧點與線的位置關系及點到直線距離的度量方式，自然引出直線與圓的位置關系的概念，體現定義的合理性、完備性和科學性，最后通過直線與點，以及直線與圓的關系的對比，反映度量的本質，揭示概念之間的內在聯系，培養學生的發散思維能力.在整章知識學習結束后，應該對整章知識進行梳理及總結，實現對教材基礎知識和基本方法的系統化、網絡化.例如，對“函數概念與基本初等函數”一章知識進行梳理時，首先可以引導學生按教材章節從整體上把知識劃分為幾個部分，并以此為主要內容進行詳細分解，畫出知識結構示意圖（如圖1）.然后，讓學生根據結構示意圖進行歸納聯系，并且要求學生對基本思想方法進行總結.
　　二、進行變式教學，鼓勵學生從不同角度思考問題
　　在課堂教學中進行變式教學，即教師要注意引導學生多角度思考，多途徑解題，使學生的思路逐步開闊，從而培養學生的發散思維.從數學教學的特點來看，以下幾點應特別重視.一是啟迪學生利用知識之間的橫向聯系來分析、解決數學問題，比如，對于一個數學問題，可要求學生從代數、幾何、三角、解析幾何或其他學科知識等多方面來思考，以尋求解決問題的途徑.二是“因題制宜”，啟迪學生從習慣思路的反方向去思考和分析問題，這在數學教學中常常表現為啟迪學生逆用定義、定理、公式和法則；啟迪學生逆向進行推理，即順推繁復時考慮逆求；啟迪學生反向進行證明，即直接解決困難時考慮間接解決；啟迪學生從反向形成新結論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時考慮探討新的可能性等.三是啟迪學生尋求多種多樣解決問題的途徑.比如，既考慮分析法，又考慮綜合法；既考慮直接證法，又考慮間接證法；既考慮常規方法，又考慮非常規方法，等等.下面我就解題中的幾種方法進行說明.
　　1.一題多解.
　　一題多解可以引導學生從不同角度考慮問題，從而使他們得到各種不同的方法，以拓寬他們的思路，發散他們的思維，培養他們思維的變通性.
　　如一道由書本上的習題改編的題：“已知S是等差數列{a}的前n項和，S=S（p＞q），則S=?搖 ?搖.”
　　解法一：基本量法.由S=na+d，以及S=S（p＞q），解得：a=d，代入S=（p+q）a+d，即得S=0.
　　解法二：函數思想.S可以表示為關于n的二次函數，其對稱軸為，由圖像可知其與x軸的交點一處為（0，0），另一處為（p+q，0），故S=0.
　　解法三：優化基本量法.由S=An+Bn，以及S=S（p＞q），代入得A（p+q）+B=0，，S=A（p+q）+B（p+q），代入即得S=0.此法雖然也是基本量法，但使解題過程得以簡化，同時也體現了整體代換的思想.
　　解法四：解填空題也可以構造數列.例如：-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…令q=2，p=5，S=S=-5，則S=0，從而可猜測S=0.
　　解法五：利用等差數列中的一個結論，若S是等差數列前項和，則數列{}是等差數列.設{}的公差為d，則=+（p-q）d，=+pd，消去d得S=（S-S）=0.實際上此解法也可以理解成三點P（p，），Q（q，），N（p+q，）共線，利用斜率相等列式.
　　2.一題多變.
　　一題多變是充分利用教材，發揮教材中習題的作用，挖掘習題的潛能，引導學生步步深入，形成探索性思維.
　　在上拋物線的習題課時，以課本習題“過拋物線y=2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y、y，求證：yy=-p.”為例.首先讓學生認真審題，互相討論，互相啟發，集思廣益，不難得到幾種不同的證法.然后通過層層設問，及時引導，創造良好的思維環境，結合圖形誘發學生的聯想，使他們有所發現，從這一命題出發，引申出一系列關于拋物線焦點的其他命題.
　　命題1：過拋物線焦點弦的端點作準線的垂線，而垂足P、Q與焦點的連線互相垂直.
　　設問1：若以PQ為直徑畫圓，焦點與此圓的位置關系怎樣？（如圖2）
　　命題2：以拋物線的焦點弦在準線上的射影為直徑的圓必過焦點.
　　設問2：取PQ的中心M，則M為此圓的圓心，連MF、MA，△APM與△AFM全等嗎？為什么？
　　學生易答：因為|MP|=|MF|，|AP|=|AF|，AM為公共邊，故△APM≌△AFM.
　　設問3：能判斷AB與MF的位置關系嗎？
　　答：由△APM≌△AFM得：∠AMF=∠APM=90°，故AF⊥MF，而AF與⊙M相切，于是得：
　　命題3：拋物線焦點弦在準線上射影的中點與焦點的連線垂直于焦點弦.
　　命題4：拋物線的焦點弦與以它在準線上射影為直徑的圓相切于焦點.
　　設問4：取AB中點C，連接MC，能發現線段MC的長與焦點弦長有什么關系？
　　|MC|===
　　設問5：設MC與拋物線相交于點D，連接DF.△MFC是什么三角形?（如圖3）
　　答：由命題3可知是直角三角形.
　　設問6：D是斜邊MC的中點嗎？
　　由|MD|=|DF|及平面幾何知識易得：|DF|=|DC|，故D為MC的中點.
　　總結可得：
　　命題5：拋物線焦點弦的中點到準線的距離等于焦點弦長的一半，且其線段被拋物線平分.
　　設問7：連AB，BM，判斷△AMB的形狀.
　　從|MC|==|AC|=|BC|，可得∠MAC=∠AMC，∠CMB=∠CBM，因此∠AMC+∠CMB=∠CBM+∠MAC，故△AMB為直角三角形.
　　命題6：過拋物線焦點弦的中點作準線的垂線，垂足與焦點弦兩端點的連線互相垂直.
　　
　　類似還可得：
　　命題7：過拋物線焦點弦的中點作準線的垂線，垂足必在焦點弦為直徑的圓上.
　　命題8：以拋物線焦點弦為直徑的圓必與準線相切.
　　3.一題多思.
　　一題多思可以培養學生從新的角度、用新的觀點去認識事物、解決問題，從而培養學生思維的獨創性.
　　例如為了讓學生徹底弄清楚軸對稱問題，以“求點A（6，4）關于直線4x+3y-11=0的對稱點A′的坐標.”為基本題，進行一題多思，恰當地對該題進行演變、引申、拓廣.
　　（1）逆向思維：若A（6，4）與A′（-2，2）關于直線l對稱，求直線l的方程.
　　（2）問題一般化：求點A（x，y）關于直線l∶Ax+By+C=0的對稱點A′的坐標.
　　（3）問題特殊化：求點A（6，4）關于直線l∶y=x，l∶y=-x的對稱點A′、A″的坐標.
　　（4）問題引申：求直線：x-y-2=0關于直線：4x+3y-11=0的對稱直線的方程.
　　（5）與最值結合：在直線上l∶4x+3y-11=0上找一點M，使它到A（6，4），B（5，1）兩點距離之和最小.
　　4.開放性問題.
　　在教學過程中教師可以結合課本的例題、練習題，以及自編的一些特別的練習題，要求學生由因尋果，執果索因，促使學生廣開思路，多角度、多途徑地思考問題.
　　如圖4所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，當底面四邊形ABCD滿足?搖?搖條件時，有AC⊥BD（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）.
　　分析：由于AA⊥平面ABCD，容易得到AC⊥BD是AC⊥BD的充要條件，而題目只需填寫一個充分條件，答案舉例如下：
　　1.AC⊥BD
　　2.ABCD是正方形
　　3.ABCD是菱形
　　4.AB=AD且BC=DC
　　5.AB=BC且AD=DC
　　6.S=AC?BD
　　7.底面ABCD的對角線平分一組對角
　　8.底面ABCD關于對角線對稱
　　此題沒有一個固定的答案，抓住P7LLGKwXsAE3h1kFB1Imlg==關鍵條件AC⊥BD是解決問題的重點.設計一些答案不唯一的試題，要求學生從不同角度分析比較，鼓勵學生各抒己見.
　　總之，解題教學是數學教學的主渠道，在解題教學中注意培養學生的發散思維的能力，對于提高學生的思維品質，提高課堂教學質量，改變一些學生高分低能的狀況，是一種行之有效的方法.
　　三、創設情境，激發學生求知欲，調動學生思維積極性
　　“興趣是最好的老師”，激發學生的學習興趣，是數學教學中促進發散思維的重要手段.
　　1.以舊引新，激發學生探求新知識的興趣.
　　例如，在介紹二面角的概念時，先復習提問初中角的概念，通過點類比線，通過射線類比半平面，使學生產生對新知識的求知欲，從而提高學生思維的積極性.
　　2.創設問題情境，引導學生主動學習.
　　例如，在等比數列一節的教學中，可創設如下有趣的問題：龜兔賽跑，烏龜在前方1米處，兔子的速度是烏龜的10倍，當它追到1米處時，烏龜前進了米；當它追到米處時，烏龜又前進了米；當它追到米時，烏龜又前進了米……（1）分別寫出相同的各段時間里兔子和烏龜各自所行的路程；（2）兔子能追上烏龜嗎？讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義，由此導入新課，能夠有效地促進學生積極思考，激發濃厚興趣，很快進入主動學習狀態.
　　總之，發散思維能力的培養，主渠道是課堂教學.教師要最大限度地發揚課堂民主，調動學生參與學習的積極性，營造生動活潑的課堂氛圍，讓學生愉快思考，積極探索，大膽質疑.教師要巧設問題，善設疑點，給學生一個自由發揮的天地，提供積極參與的思維空間，學生對知識有了強烈的興趣，才會主動地、積極地參與到學習活動中，它要求教師在教學中注意發掘一切可以調動學生發散思維能力的因素，開發學生的智力潛能，從而從根本上提高學生的創新思維能力.
　　
　　參考文獻：
　　［1］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.
　　［2］鄭隆炘，毛鄂涴.數學思維與數學方法論概論［M］.武漢：華中理工大學出版社，1999.
　　［3］任樟輝.數學思維論［M］.廣西：廣西教育出版社，1999.
　　［4］熊昌明.在數學教學中培養學生發散思維能力［J］.四川教育學院學報，2005.
　　［5］程麗陽.淺談教師的發散思維素養［J］.教學與管理，2004.
　　［6］桃李園.新課程改革背景下對學生發散思維的培養［J］.宿遷日報，2008.