我看數形結合

　　數形結合的解題思想是高中數學的主要解題方法之一。數學是研究空間形式和數量關系的科學。《高中數學課程標準》要求：讓學生在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示等思維過程。可以看出：空間想象、抽象概括、符號表示等是提高學生的數學思維能力的重要內容。數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質，可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直觀的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，可以獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息相互轉換、相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟一條重要的途徑。因此，數形結合不僅僅是一種解題方法，更是一種重要的數學思想方法。著名數學家華羅庚先生關于數形結合有一首小詩：
　　數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？
　　數缺形時少直觀，形少數時難入微，
　　數形結合百般好，隔離分家萬事休，
　　幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。
　　這首詩形象地道出了數形結合的真諦。由于數形結合的重要性，數學教師經常把數形結合方法掛在嘴邊，落實在課堂上。但是在實際教學中有的同學會有這樣的疑問：我也由題目給定的代數關系得畫出圖形，或是也由所給出的圖形得到了一定的代數關系，可是題目就是解不出來，這是為什么？下面我們通過幾個例子來看一下。
　　例1.（2010全國卷）已知函數f（x）=|lgx|?搖?搖0＜x≤10x+6?搖?搖x﹥10，若a、b、c不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc 的取值范圍是?搖?搖?搖.
　　我請一個同學上黑板上來展示他的解題過程，該生說不會做，我就讓他寫出他已經做出的部分，他的解題過程如下：
　　先由已知條件，畫出圖像。
　　由圖像可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可設a＜b＜c，則相當于y=n的圖像與上圖有三個交點。則可判斷出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。
　　到此為止，該生得不出進一步的結論，有一種感覺，好像眼看著就能做出來，卻怎么也做不出來。
　　分析：出現上述結果的原因其實就是學生在對數形結合關系的把握上只注重圖形的功能，也就是說，已知條件的幾何意義是找出來了，但是蘊藏在幾何圖形下面的代數關系卻還沒有揭示出來，而沒有認識到要想最終決問題還是要依靠a、b、c之間的代數關系，幾何圖形只能幫助我們直觀地認識可能出現的結果，而不能精確進行運算。簡單地說，只認識到f（x）與y=n有三個不同交點，只注重圖形關系，而不能把f（a）=f（b）=f（c）所揭示的代數含義轉化出來。由此我想到為什么有的同學做這些類型的問題時，可能會得出正確的結果，但你讓他寫他卻不太能完整地寫出來。某種意義上是因為是因為我們有時過分關注形式化的結果，卻忽略了其代數關系的教學。
　　經過點撥，該生得出了以下的解題過程：
　　∵由圖形可以看出，要使f（a）=f（b）=f（c），可設a＜b＜c，則相當于y=n圖像與上圖有三個交點。則可判斷出a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12。
　　∴f（a）=-lga，f（b）=lgb，f（c）=c+6
　　由f（a）=f（b），得-lga=lgb
　　∴ ab=1，∴abc=c.
　　又∵1＞f（c）＞0，則10＜c＜12
　　∴abc∈（10，12）.
　　例2.若關于x的方程x+ax+2=0的兩根都大于1，求實數a的取值范圍.
　　解法一：設f（x）=x+ax+2，若方程有兩個大于1的根，由圖像可知圖形與x軸有兩個交點且零點大于1，所以：
　　（1）f（1）＞0，（2）△≥0，（3）-＞1.
　　則由（1）可得a＞-3，由（2）可得a≥2或a≤-2，由（3）得a＜-2.綜上可知-2≥a＞-3.
　　全班所有學生，無論是做對做錯的，用的都是上述解法。而且當我提問是否有其他解法時，學生都感到茫然，好像只知道這種方法。這也許是因為我們在解決此類問題時一直給學生強調“一元二次函數、一元二次不等式、一元二次方程”三個二次的相互轉化，使學生形成了思維定勢，只想到要立即轉化成為一元二次函數。
　　就一個一元二次方程的根的情況來說，它的根是完全可以解的。為什么學生想到的只是利用函數的圖像呢？是方程的解不能表示出來還是表示太難？我們來看看代數解法的解題過程，對比一下就可以看出問題所在。
　　解法二：因為方程有解，則同上，由△≥0得a≥2或a≤-2，所以方程的根為x=，x=，由題意可得x＜x，若要根大于1，只要x＞1即可，由＞1，可得-3＜a＜-2，所以a 的取值范圍是-2≥a＞-3.
　　對比兩種不同的解法，可以發現，解法二唯一有點困難的地方是解不等式＞1。但是對于一個高中生來說，實在說不上難，為什么學生就不愿意采用，甚至于忘記這種解法呢？這不是我們開始學習討論方程的根的問題時學生最先想到的方法嗎？討論方程根的問題，把方程根求出來不是最本質的做法嗎？同時該做法對于糾正學生對于圖形的過度依賴，加強代數關系的教學，鍛煉學生良好的學習品質都有好處。
　　例3.試判斷方程sinx=x方程解的個數.
　　根據觀察，我們可以看出x=0一定是方程的根，有的同學根據感覺畫出圖像（1）認為有三個交點。有的同學則畫出圖像（2）認為有一個交點。大家都知道解的個數問題要化成交點的個數，但是為什么會得到不同的結果呢？而且得到（1）的同學更多。產生錯誤的根本原因是對函數y=sinx的圖像的變化不清楚。而解決這個問題就要利用導數說明函數y=x-sinx 在（0，）上的大于零恒成立。
　　利用數形結合解題要求畫出相應的圖形，但是由于各種原因學生畫出的都是草圖，有時其精度足以影響到解題的結果。這時就顯示出代數計算的重要性，數形結合不僅有圖形，還要有相應的代數運算。
　　綜上所述，數形結合思想的實質是將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化。其實也就是化歸思想。它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。當然，具體到一個問題到底是用幾何解法還是用代數解法解決來得比較快、比較準，要根據具體的題目而定。