如何利用數學問題培養學生的思維能力

　　摘 要： 在數學課堂教學中，教師應根據教學需要從不同的角度、層次和要求設計問題，盡可能地達到提高學生各種思維能力的目的。本文作者結合具體的高中教學實例，根據不同的設計方法，探討如何設計數學問題，找到數學和培養思維能力之間的連接點，引導學生進入數學世界體驗數學，在探索數學知識的過程中解決生活中出現的實際問題，在解決問題的過程中迸發出無窮的靈感，培養各種思維能力。
　　關鍵詞： 數學教學 數學問題 思維能力
　　
　　思維是認識過程的高級階段，是人腦對事物本質和事物之間規律性關系的反映。思維能力是培養學生各種能力的核心。數學學科的豐富內容非常有利于培養學生分析、綜合、抽象、概括的能力，同時也有利于培養他們對事物進行對比、類比、判斷、推理的能力，以及跨越時空的想象力，從而培養他們的數學思維。要學好數學學科，無論是學習理論，掌握數學知識，解答習題，應用知識，自始至終都存在著積極的思維活動。因此，思維能力的培養對學生當前的學習和未來的發展均有十分重要的意義。
　　高中數學作為一門重要的基礎學科，在培養學生邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力，以及計算能力方面有著極其重要的作用。邏輯嚴密、推理深奧是其最顯著的特點。如何在其教學過程中研究和探索培養學生的思維能力，成為一個重要的課題。發展學生的思維能力、優化學生的思維品質、提高學生的思維水平，成為中學數學教學的一個重要任務。
　　1.設計“懸念式”問題，培養思維的積極性
　　興趣是最好的老師，也是每個學生自覺求知的內在動力。只有能夠引發學生興趣并發展其創新思維的問題才是有效的問題。因此，教師要根據數學教學的任務和思維訓練的目標要求，充分挖掘興趣激發的因素，有意識地為學生設計好激發思考和創造的問題情境，設置誘人的懸念，激發學生發散思維的火花和求知的欲望，從而培養學生思維的積極性。
　　在新授課的導入或講解的過程中，設置一些懸念來引起學習興趣，培養思維的積極性來引發探求的欲望。問題應具有趣味性，能引起學生的思考。例如:在講等差數列的時候，可以先提問從1到100所有的數相加是多少？也許會有部分學生知道首尾相加的方法。再提問：從1到100所有的偶數相加結果呢？也許還會有人很快地算出來。最后再問：從1到100所有的質數相加是多少？估計就沒有多少人可以立刻答出來了。到這里，我們可以讓學生思考為什么之前的兩個問題可以立刻答出來，而第三個卻不能。原因就在于它們是否有規律性，從而引出所要講的新內容——等差數列。問題可以是一種情境，其中隱含的數學問題可以由學生自己去提出、求解。這樣能使學生在解決一個個“懸念”問題中探究，激發學生的學習興趣，從而了解數列的本質。
　　2.設計“反復式”問題，培養思維的聯想性
　　設計反復式問題引導學生自主聯想，揭示和建立新舊知識的聯系是培養思維聯想性的有效途徑。學生通過聯想回憶的過程可以充分挖掘激發思維潛力。數學研究本身就是不斷實踐→認識→實踐的過程，這樣的過程推動了數學的進步和發展。而思維的聯想在這一過程當中起著舉足輕重的作用。所以，教師可以在教學過程中多設計一些反復式問題，引導學生聯想與回憶，建立好新舊知識間的聯系，深化對知識的理解。同時，教師可以鼓勵學生建立自己的糾錯集，曾經遺忘或忽視的知識點能夠被經常回憶與反思必將使學生的思維能力得到提升。在實際解題中，學生將知識點融會貫通的能力也一定有所提高。因此，在教學中，應緊密結合學生的認知活動，適時設計好反復式問題，培養學生思維的聯想性。在數學教學中應注重思維能力的培養，而思維能力的培養卻需要教師精心地設計好各類問題。例如:在上每堂課前習慣性地復習一下上堂課的內容，或者在講習題課時對涉及的知識點作必要的提示，引導他們去聯想上堂課的知識要點。
　　例如在上《任意角的三角函數》這節習題課時：
　　1.回顧三角函數線的作法，再次加深理解和記憶，點明三角函數線在其他方面的應用，以及數形結合思想，便于學生在后續學習中更深入地思考，更廣泛地研究。
　　2.三角函數線是利用數形結合思想解決有關問題的重要工具，自從著名數學家歐拉提出三角函數與三角函數線的對應關系，使得對三角函數的研究大為簡化，現在仍然是我們解三角不等式、比較大小，以及今后研究三角函數圖像與性質的基礎。“我聽見了，就忘記了；我看見了，就記住了；我做過了，就理解了”。要想讓學生深刻理解三角函數線的概念，就要讓學生主動去回顧，大膽去實踐，親身體驗知識的發生和發展過程。再帶著通過實踐所得到的結論，回到所學的知識內，反復進行復習比較，獲取更多的信息，達到培養思維連續性的目的。
　　3.設計“一題多解”問題，培養思維的求異性
　　設計“一題多解”問題，問題答案不唯一，各種不同水平的學生都可以由淺入深地做出回答。旨在引導學生從不同的角度來觀察和思考，以尋求不同的解題路徑，開拓學生的解題思路。并在此基礎上讓學生進行多次訓練，這樣既增長、鞏固了知識，又培養了學生的求異性思維能力。因此在數學教學中，教師要注意抓住一道典型題目，努力尋求多種途徑的解法，促使學生多方位、多層次、多角度地思考分析，打開學生的解題思路。培養學生的思維的開放性，促進創新思維的發展。
　　這是典型的數列問題，可以用多種方法來求解。數列是高中教材中最重要的知識點之一，高考中的難題都與數列有著千絲萬縷的聯系，書本上面介紹了它的一些基本求解公式，為了開拓學生的解題思維，還可讓學生自主探究新的方法。
　　在設計“一題多解”問題時，不僅要讓學生多掌握解題方法，而且要培養學生求異性的解題思維，同時要重視引導學生對多種方法進行比較，優化解題方法，提高解題速度并注意找出同一問題存在各種解法的條件與原因，挖掘其內在規律。這樣將能很好地達到教學雙贏，提高教學質量又培養思維能力的目的，何樂而不為呢？
　　4.設計“類比式”問題，培養思維的廣闊性
　　注重培養學生正確的思維觀察模式、方法，拓展思維的廣闊性是指善于全方位探求，抓住問題的全貌，以及與問題相關的其他因素，進行多角度、多層次的思考與研究。在問題設計時，可通過設計類比式的問題，引導學生抓住問題的實質，進行多角度、多層次的思考與研究。所謂類比就是根據兩個對象之間的相似性，要求解題者運用發散思維去聯想、類比、推廣、轉化，找出類似的命題、推廣的命題、深入的命題，把信息從一個對象轉移到另一個對象，或者根據一些特殊的數據，特殊的情況去歸納出一般的規律。學生在運用一個知識點解題的同時就能夠舉一反三地通過類比得出其他結論。
　　解析：解決本題可以類比圓的知識、兩點之間的距離公式求解，根據題意，已知方程表示的曲線為空間中以（0，點到原點的距離，再類比平面中圓上的點到原點的最值問題的處理方法。在空間幾何一些題目中，通過類比平面幾何的知識，大膽猜想，得出在空間中的一些類似結論，或通過平面與空間的類比，如圓與球、三角形與三棱錐等之間關系的類比，把多維問題類比二維問題進行解答。二維與三維空間的類比也成為近幾年考查的熱點。
　　5.設計“陷阱式”問題，培養思維的辨否性
　　數學教學是數學思維活動的教學，暴露思維過程，就是描述思維過程及其產生的原因，設計陷阱式問題是為了讓學生在“落入”和“走出”陷阱的過程中，吃一塹，長一智，學會合理地調整思維，避免走彎路。在教學，教師也可把自己思考某一問題時走過的彎路及錯誤過程暴露給學生，使學生知道老師與自己一樣也犯思維錯誤，從而使學生充滿信心，自愿建立錯題改正本，強化糾正錯誤思維。可見設計陷阱式問題是培養辨否性思維，提高學生數學素質的重要途徑之一。
　　例如幾何圖形的維數增加，低維圖形的概念和性質不加判斷地推廣到高維圖形這種現，在立體幾何教學中較常見。比如平面幾何中的定理：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行被搬到立體幾何中就成為了陷阱式問題，通過解決陷阱式問題使學生善于辨別真偽，分清主次，積累經驗，吸取教訓，提高思維的辨否性。從而在解決問題時能對某一錯誤的想法和做法迅速作出判斷，并及時修正。
　　6.設計“典型性”問題，培養思維的靈活性
　　教學的本質是展示和發展思維的過程。在數學教學中充分展示思維過程已成為廣大數學老師的共識。一些學生在數學學習中多數采用題海戰術，盲目地做大量的題目，看似掌握和鞏固了解題方法，實際上卻浪費了很多時間。我們在教學中要注重數學學習中思維靈活性的培養。典型性思維是創造性思維的基本成分之一，它是人們根據熟悉的方式分析問題和解決問題，利用已知的信息產生某一種邏輯的結論，是一種定向、定法、定序的思維方式。它有利于學生解題時，不迷惑與題目的表面現象，抓住題目的本質特性，從不同類型題目中探求統一解法。
　　通過上述的一系列的不同的設計問題的方式，精心設計每節課，使之形象生動，有意創設動人的情境，設置誘人的懸念，激發學生思維的火花和求知的欲望。讓他們在實際生活中了解到數學的作用，在探索知識的過程中解決實際問題，迸發出無窮的靈感，培養各種思維能力。
　　
　　參考文獻：
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