中學數學解題中的數形結合問題

　　摘 要： 數量關系和空間圖形是初等數學研究的對象，因而數形結合是一種極富數學特點的信息轉換。在求函數的值域、最值問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理;而對于一些圖形的性質，又可以賦予數量意義，尋找恰當表達問題的數量關系式，即可使幾何問題數量化，以數助形，用代數的方法使問題得以解決。數形結合思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，發揮數與形兩種信息的轉換及優勢互補，能夠更好地體現數學直覺思維在數學思維中的地位。
　　關鍵詞： 中學數學數形結合 代數問題 幾何圖形 代數方法 幾何問題
　　
　　1.數形結合的基本思想
　　數形結合法就是根據數學問題的條件與結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙得結合起來，并充分利用這種“結合”尋找解題途徑，使問題得到解決.通過數形結合解題可以有針對性地培養學生的思維能力.在求函數的值域、最值問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理；對于一些圖形的性質，可以賦予數量意義，尋找恰當表達問題的數量關系式，即可使幾何問題數量化，以數助形，用代數的方法使問題得以解決.數形結合思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化.
　　2.借助或構造直觀圖來解決代數問題
　　在數學問題中，我們可以通過對圖形性質的討論來直接反映函數、不等式，或看非常規問題中的變量之間的關系，有時還能通過圖形直觀啟迪解題思路.下面就從初等數學的角度，舉例說明如何借助或構造直觀圖來解決代數問題.
　　2.1數形結合在函數解題中的運用
　　例1.求函數y=+的最小值.
　　分析與解：該函數很復雜，直接用代數方法無法入手.觀察到函數配方后可得到式子y=+，聯想到兩點距離公式.設點P（x，0），A（1，2），B（-3，-4），則該函數的幾何意義為：動點P（x，0）到兩定點A（1，2），B（-3，-4）的距離之和.（如圖1）
　　所以y=|AP|+|PB|＞|AB|
　　（根據三角形兩邊之和大于第三邊）
　　即得y≥|AB|==，即y=.對于這個函數，若從代數方面入手十分復雜，且得不到解法.但是運用代數表達式中所表示出的形聯想到兩點間的距離公式，即馬上想到把代數式轉化為幾何表達式，題目便容易了，且形象、直觀.
　　2.2數形結合在不等式中的應用
　　2..2.1三角不等式中的數轉形問題
　　例2.若0＜a＜b＜，求證：＜＜.
　　證明：（i）如圖2在單位圓中作∠AOB=a，∠AOC=b.過B作圓O的切線，交OA的延長線于D；聯結CB并延長交OA的延長線于E.
　　在△COE和△BOE中，由正弦定理知=，=.
　　因為OB=OC=1所以= ==1+.
　　又因為BC＜弧BC=b-a，BE＞BD=tana＞a，
　　所以＜1+=.
　　又因為tana=AH，tanb=AD，所以===1+.
　　而BG＞BE=tan（a-b），BF=sina＜a，所以＞1+=.
　　（ii）如圖3所示在單位圓中作∠AOB=a，∠AOC=b；過點A，B分別作圓O的切線，交OC的延長線于D，E；過點B作OA的垂線，分別交OA，OD于F，G；延長OB交AD于H.由（i）（ii）得＜＜.
　　注:對于與角的弧度有關的三角不等式，通常可應單位圓中幾何圖形的性質來證明.應用幾何解三角問題的解法簡明，而且使解答或結論反映在幾何圖形上，形與式結合，直觀生動.
　　2.2.2數形結合在一般不等式證明中的應用
　　例3.已知正數a，b，c，a，b，c滿足條件a+a=b+b=c+c=k，求證：ab+bc+ca＜k.
　　分析與解：此題通過構造性思維可把ab，bc，ca看作三個矩形的面積。k可看作邊長為k的正方形的面積，從中構造出下面的矩形，如圖4.
　　構造邊長為k的正方形ABCD，且令DF=a，DG=AH=b，AG=BH=b，BF=c，CE=c，CF=a，并作出相應的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，由S＞S+S+S，就有了k＞ab+bc+ca.
　　從這個例題中可看出，有些數學問題可能是由一個幾何問題演變而來，但它因脫去了幾何外衣而成為抽象的代數問題.如果能夠根據題目特點，構造出相應的幾何圖形，就會使問題形象、直觀，解題方法簡潔、巧妙.
　　3.用代數的方法解決幾何問題
　　3.1用解析法解決幾何問題
　　在傳統的幾何教育中，主要使用“形到形”的性質的推理來學習幾何知識，并培養邏輯思維能力.但是，使用“形到形”的性質的推理學習幾何知識對大部分人來說是比較困難的.但有些幾何問題使用解析法就很容易得到解決.借助坐標系，應用代數方法研究解決數學問題的方法稱為解析法.解析法通常用以研究幾何圖形的性質，因此，平面幾何的許多問題都可以用解析法來解決.而且有些平面問題用解析法要比用幾何法方便，且具有一般性.解析法也可以用來解某些代數、三角問題.這里舉例說明解析法在中學數學中的應用.
　　例4.過圓O上任意兩點P，Q的切線相交于點T，聯結PQ，作直徑AB平行PQ，直徑CD垂直于PQ，聯結BP，AP分別相交于直徑CD或其延長線與S，R，求證：RT=ST.
　　證明：如圖5，建立直角坐標系.
　　設圓的半徑為1，則A（0，1），B（0，-1）.
　　設p（cosq，sinq），則PT的方程為xcosq+ysinq-1=0.
　　令y=0，得T點的橫標為x=，所以，T點坐標為（，0），
　　PA的方程為x（1-sinq）+ycosq-cosq=0.
　　令y=0，得點R的橫坐標為x=，所以，R點坐標為（，0）.
　　說明:用解析法證明三點共線，也可以分別求過兩點的直線斜率，由斜率相等可判定三點共線;還可以用面積行列式的值為零來判定.本例是特殊情況，由y坐標相等，即可得到三點必在平行x的直線上.
　　3.2用向量的方法解決幾何問題
　　在新編的全日制普通高級中學教材中引進了空間向量及其運算，這不僅豐富了立體幾何的內容，而且強化了“數形結合”的思想，并在教科書中積極引導學生使用向量代數方法解立體幾何問題.向量運算體系與算術、代數運算體系基本相似，解題時可運用我們熟悉的代數方法進行推理，掌握空間圖形的性質，空間向量為解決立體幾何中某些用傳統純幾何方法解決時，技巧性較大，隨機性較強的問題提供了一些通法，以降低解題難度.在這里，通過一道題目的解法，體會空間向量方法的獨特和簡便.
　　例5.如圖6所示，在正三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC，AB=a，求這個正三棱柱的體積.
　　解：因為棱柱ABC-ABC為正三棱柱，所以作BO⊥AC，O為垂足，以O為原點，OA，OB為x，y軸的正半軸，過O作z軸的正半軸平行于CC，建立如圖7的直角坐標系.則AB=a，設CC=h，由圖7可得如下坐標C（-，0，h），A（，0，0），A（，0，h），B（0，，0），故=（-a，0，h），=（-，，-h）
　　因為AB⊥AC，所以?=0，即（-a，0，h）?（-，，-h）=-h=0，h=a，所以V=??a=a.
　　注意：（1）為了使相關點的坐標便于計算和證明，必須分析空間幾何體的構造特點，選取合適的空間直角坐標系（合適的點作原點，合適的線和方向作坐標軸）.（2）解題步驟：建立空間坐標系→相關點坐標→向量的坐標→平行、垂直關系→幾何結論.
　　4.兩點啟示
　　4.1數形應結合
　　從上面的幾個例子中我們看到了數形結合的奇妙轉化.數學的發展也是以數與形著兩個基本概念為主線.當然我們也認識到坐標系的建立，實現了幾何空間的數量化，不僅使幾何與代數有機結合起來，也為數形結合觀點的形成與應用開辟了一條康莊大道.數與形是中學數學的主體，也抓住了數學解題通道的一個大動脈.同時關注數與形，自覺、主動的運用幾何方法嘗試解代數題，十分有利于形成優化的認知結構，并使這個結構更具整體性、準確性和連通性，體現了數與形的優勢互補.
　　4.2運用數形結合法解題需積累
　　無論學習任何知識都應經過積累方可運用自如，數學知識也不例外.在數學問題中，涉及數形結合法的運用都會相關到其他的很多知識，如果要對數形結合法運用自如，那么對于涉及的具體操作和基本功必須有所積累.從上面的幾個例子中我們知道的經驗有:運用坐標系、轉化、幾何圖形的構造.并且我們也知道，數與形之間的轉化途徑不是唯一的，也就是說數形結合是一個需要探索積累并且永遠也探索不完的課題.
　　
　　參考文獻：
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　　［4］胡勇健.談向量的綜合復習［J］.中學數學，2003.4.
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