導(dǎo)數(shù)考查的幾種方式

　　摘 要： 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成為新課程的熱點(diǎn)，因此復(fù)習(xí)中要足夠重視，本文探討有關(guān)導(dǎo)數(shù)的考查方法，以增強(qiáng)復(fù)習(xí)的針對性。
　　關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù)概念 函數(shù)單調(diào)性 不等式 導(dǎo)數(shù)幾何意義
　　
　　一、識別函數(shù)圖像，考查導(dǎo)數(shù)概念及思想內(nèi)涵
　　函數(shù)圖像能直觀反映兩個變量之間變化關(guān)系，但其變化率的定量分析還依賴于導(dǎo)數(shù)計(jì)算，導(dǎo)數(shù)概念的建立使對平均變化率的粗略的認(rèn)識提高到對瞬時變化率的精確認(rèn)識.
　　例1：如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S（t）（S（0）=0），則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖像大致為（?搖?搖?搖?搖）
　　二、考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
　　導(dǎo)數(shù)為對函數(shù)單調(diào)性的研究提供了簡單，快捷，程序化的方法.
　　例2：設(shè)函數(shù)f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0，當(dāng)b＞時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性.
　　解：由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=2x+=.
　　設(shè)g（x）=2x-2x+b，其圖像的對稱軸為x=-∈（-1，+∞），
　　∴g（x）=g（-）=-+b，當(dāng)b＞時，g（x）=-+b＞0，
　　即g（x）=2x+3x-b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
　　∴當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，
　　∴當(dāng)b＞時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增.
　　三、證明不等式，考查導(dǎo)數(shù)方法的靈活運(yùn)用
　　把要證明的一元不等式通過構(gòu)造成函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，實(shí)現(xiàn)對不等式的證明.
　　例3：已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，求證：當(dāng)x＞-1時，恒有1-≤ln（x+1）≤x.
　　分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)：
　　g（x）=ln（x+1）+-1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.
　　f′（x）=-1=-
　　∴當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（-1，0）上為增函數(shù)；當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，+∞）上為減函數(shù).
　　故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，+∞）.
　　于是函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）=f（0）=0.因此，當(dāng)x＞-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0∴l(xiāng)n（x+1）≤x（右邊得證）.現(xiàn)證左邊，令g（x）=ln（x+1）+-1，則g′（x）=-=.
　　當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，即g（x）在x∈（-1，0）上為減函數(shù)，在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
　　故函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）=g（0）=0，
　　∴當(dāng)x＞-1時，g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+-1≥0.
　　∴l(xiāng)n（x+1）≥1-.綜上可得，當(dāng)x＞-1時，有-1≤ln（x+1）≤x.
　　四、解曲線切線的相關(guān)問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義
　　函數(shù)的某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率.
　　例4：若曲線y=x在點(diǎn)（a，a）處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則a=（?搖?搖?搖?搖）
　　A.64 B.32 C.16 D.8
　　［解析］y′=-x，∴k=-a，切線方程是y-a=-a（x-a），令x=0，y=a，令y=0，x=3a，∴三角形的面積是s=?3a?a=18，解得a=64.故選A.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文