導數在函數中的應用

　　摘 要： 利用導數可求曲線的切線，判斷或論證函數的單調性，求函數的極值和最值。導數是分析和解決函數問題的有效工具。
　　關鍵詞： 導數 函數 應用
　　
　　導數是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想.隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具.函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法.近年一些省高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題.我結合教學實踐，就導數在函數中的應用作初步探究.
　　有關導數在函數中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用單調性和極值求參數的取值或取值范圍，求方程的根的個數（或曲線和直線的交點個數）.利用函數的單調性證明不等式，這些類型成為近兩年熱門的考點之一，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點.
　　一、用導數求函數的切線
　　例1.已知曲線y=x-3x-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程.
　　分析：根據導數的幾何意義求解.
　　解：y′=3x-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3（x-1），即為：y=-3x.
　　方法總結：函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x，f（x））處的切線的斜率.也就是說，曲線y=f（x）在點P（x，f（x）），處的切線的斜率是f′（x），相應的切線方程為y-y=f′（x）（x-x）.
　　二、用導數判斷函數的單調性
　　例2．求函數y=x-3x-1的單調區間.
　　分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可.
　　解：y′=3x-6x，由y′>0得3x-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2.
　　由y′<0得3x-6x﹤0，解得0﹤x＜2.
　　故所求單調增區間為（-∞，0）∪（2，+∞），單調減區間為（0，2）.
　　方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f（x）的定義域；（2）求導數f′（x）；（3）在函數f（x）的定義域內解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；（4）確定f（x）的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類討論.
　　三、用導數求函數的極值
　　例3．求函數f（x）=x-4x+4的極值.
　　解：由f′（x）=x-4=0，解得x=2或x=-2.
　　當x變化時，y′、y的變化情況如下：
　　當x=-2時，y有極大值f（-2）=-，當x=2時，y有極小值f（2）=-.
　　方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′（x）；（2）求f′（x）=0的所有實數根；（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x）的左右側，導函數f′（x）的符號如何變化，如果f′（x）的符號由正變負，則f（x）是極大值；如果f′（x）的符號由負變正，則f（x）是極小值.注意：如果f′（x）=0的根x=x的左右側符號不變，則f（x）不是極值.
　　四、用導數求函數的最值
　　例4.（2005年全國卷Ⅱ）已知a≥0，函數f（x）=（x-2ax）e．（1）當x為何值時，f（x）取得最小值？證明你的結論；（2）設f（x）在［-1，1］上是單調函數，求a的取值范圍．
　　分析與解：（1）對函數f（x）求導數，得f′（x）=（x+2x-2ax-2a）e．
　　令f′（x）=0，得x+2（1-a）x-2a=0．
　　解得x=a-1-，x=a-1+，其中x＜x.
　　當x變化時，f（x），f′（x）的值變化如下表：
　　∴f（x）在x=x處取得極大值，在x=x處取得極小值．
　　∵a≥0，x＜-1，x≥0，f（x）在（x，x）上為減函數，在（x，+∞）上為增函數．
　　而當x＜0時，f（x）=x（x-2a）e＞0；當x=0時，f（x）=0.
　　所以當x=a-1+時，f（x）取得最小值．
　　（2）當a≥0時，f（x）在［-1，1］上為單調函數的充要條件是x≥1，即a-1+≥1，解得a≥．
　　于是f（x）在［-1，1］上為單調函數的充要條件是a≥，即a的取值范圍是，+∞．
　　五、證明不等式
　　例5.（2004年高考天津卷）已知函數f（x）=ax+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時，f（x）取得極值-2．
　　（1）求f（x）的單調區間和極大值；
　　（2）證明對任意x，x∈（-1，1），不等式|f（x）-f（x）|＜4恒成立．
　　分析與解：從函數的性質及導數與函數極值的關系著手．
　　（1）由題意f（-x）=-f（x），x∈R，得d=0．
　　由f′（x）=3ax+c，f（x）在x=1處取得極值，必有f′（1）=0，
　　故3a+c=0①
　　由f（1）=-2，得a+c=-2 ②
　　聯立①②，得a=1，c=-3，因此f（x）=x-3x．
　　求出f′（x）后，經判斷知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數，在（-1，1）上是減函數．其極大值為f（-1）=2．
　　（2）由（1）知，f（x）=x-3x在x∈［-1，1］上是減函數，且f（x）在［-1，1］上的最大值M=f（-1）=2，最小值m=f（1）=-2.所以，對任意x，x∈（-1，1），恒有|f（x）-f（x）|＜M-m=2-（-2）=4.
　　方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型.其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”.
　　六、求方程的根的個數
　　例6.已知函數f（x）=x-x+2的定義域為［-2，t］（t∈N），設f（-2）=m，f（t）=n.
　　（1）若函數f（x）在［-2，t］（t∈N）上為單調函數，求t的值；
　　（2）求證：n＞m；
　　（3）當t取哪些值時，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三個不相等的實根？并求出相應的實數p的取值范圍.
　　分析與解：（1）∵f′（x）=x（x-2），由f′（x）＞0得x＜0或x＞2，∴f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，所以t≤0，又t∈N，故t=0；
　　（2）因為f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，所以f（x）在x=2處取得極小值f（2）=，又f（-2）=-＜=f（2），所以f（x）定x=-2在處取得最小值，從而當t∈N時，f（-2）＜f（t），即n＞m；
　　（3）由（1）知f（x）在（-∞，0）∪（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減，故當t=0或t=2時，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）最多只有兩個實根，所以t≥3，且t∈N.當t≥3，且t∈N時，方程f（x）=p（p∈R）在［-2，t］（t∈N）上有三個不相等的實根，只需滿足p∈（max{f（-2），f（2）}，min{f（0），f（t）}）即可.如下圖所示，因為f（-2）=-，f（2）=，f（0）=2，f（3）=2，且f（t）≥f（3）=2，因而p∈（，2）.
　　方法提升：研究方程的根的個數（或y=f（x）圖像與直線y=p的交點個數）的問題實質上是研究函數的單調性和最值的問題.如能畫出圖像來分析，則更加直觀.
　　總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值，以及切線問題.在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識.
　　
　　參考文獻：
　　［1］普通高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社）.
　　［2］高中數學教學參考.
　　［3］高中數學考試研究轉貼于中國論文下載中心http://www.studa.net.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文