在概念教學中培養學生思維的深刻性和廣闊性

　　摘 要：概念教學中如何重視學生自我發現，如何通過挖掘數學新概念的內涵和外延來發展思維能力，如何通過重視練習中習題的設計，是培養思維的深刻性和廣闊性的關鍵。
　　關鍵詞：概念；培養；思維
　　
　　知識就是概念與概念之間的各種聯系。概念是學生知識學習的核心。對概念的理解和運用是學生掌握知識的關鍵。概念的學習是學生學習數學的根本前提。所謂概念明確，是指明確概念的內涵和外延。內涵是概念質的方面，是概念所反映的事物特征。外延是概念的量的方面，是概念所反映的事物范圍。概念教學中如何重視學生自我發現，如何通過挖掘新概念的內涵和外延來發展思維能力，如何重視練習中習題的設計，是培養學生思維的深刻性和廣闊性的關鍵。
　　概念是抽象嚴謹和系統的，學生要形成準確的概念，達到深、透、準、熟的程度，教師必須在教學中通過對表象的再深入加工、剖析，在更高層次上比較、分析、綜合，進而抽象出事物的本質屬性，精心設計一組符合學生認知規律，能激發學生的求知熱情，梯度適中，多層次、多變化的問題情境，啟發思考、誘導思維，促使學生養成多角度分析問題、善于質疑、勤于思考、深入鉆研的好習慣。
　　一、概念教學中重視學生的自我發現
　　由于學生缺乏知識經驗和綜合分析能力，在認識數學概念的過程中，容易被概念的非本質屬性所迷惑，造成認識上的偏差。因此在教學中要積極開展對比、辨析、推理等教學活動，讓學生自己動手、動腦，給學生設疑，讓學生在疑問、解疑的思維訓練中，建立準確、清晰的數學概念，讓學生通過一些簡單的數學模型及一些數學實驗，在老師引導下觀察、分析在所做的過程中暴露的問題，激發學生學習概念的興趣，在做中自然形成數學概念。例如：講“雙曲線的定義”，先組織同學們動手去畫雙曲線，進一步設問：（1）幾個動點幾個定點。（2）定點與定長距離的關系。（3）動點到兩個定點距離是以什么為定長？引發學生的興趣，促進學生思考，強化概念的本質屬性。學生經過思考和做的過程后回答出“兩個動點”“距離的絕對值之差”“定長2c與2a的數量關系”，掌握和鞏固了雙曲線的概念。再如：講函數的概念時，設問：（1）初中的函數定義是什么？在什么條件下？（2）高中的函數定義在什么條件下？（3）有什么相同點？區別在哪？學生經過思考后和做的過程回答出初中的函數是在某一變化過程中兩個變量間的關系，高中的函數是在兩個集合上的映射。它們體現的都是單值對應的關系，前者函數體現得變量間的關系，函數的組成不明顯，后者函數的三要素體現得非常明確，教師通過重視學生自我實驗、自我發現，培養了學生思維的深刻性。
　　二、通過挖掘數學新概念的內涵和外延來發展學生的思維能力
　　數學概念的內涵就是事物的本質屬性，外延就是概念所反映事物的全體。外延與內涵是緊密相連的，外延是隨著知識的不斷積累而不斷豐富的。在實際教學中，教師要將概念的內涵講明白、講透徹，使學生真正理解概念。為使學生準確掌握概念的內涵，教師應該多給出概念類別的例子進行對比和類比。對比可以找出概念之間的差異，類比可以發現概念之間的相同或相似之處。例如，“對數”概念可從學生熟知的“指數”概念入手。因為學生明白，如果他們根據已有的知識，這個問題解決不了，必須引入新概念，由此就引出了“對數”的概念。明確概念的內涵和外延是數學概念鞏固的標準之一，理解概念的內涵就是把事物的本質屬性揭示出來，進而讓學生用簡潔的合乎邏輯的語言進行表述，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用。理解概念的外延就是理解概念反映的一個個、一類類的事物。理解概念與概念之間的相互關系和區別，防止相似的概念的混淆，使學生明確：（1）概念產生發展的過程。（2）概念所限制的條件。（3）概念等價的論述有否。（4）概念能解決的問題，在挖掘新概念內含和外延的基礎上理解概念，掌握了概念，才能更好地幫助學生認識數學的思想和本質。例如：先由學生歸納定義后，提出問題：（1）指出雙曲線與橢圓的相同點、不同點；（2）方程上的區別；（3）a、b、c的含義區別等，注重溝通概念間的內在聯系，這樣既能掌握新概念，又能鞏固同類概念的系統知識，進一步發展學生的思維能力。
　　三、重視練習中習題的設計，培養學生思維的深刻性和廣闊性
　　學習的目的在于應用，課堂練習是促進學生思維發展，培養學生技能的有效手段。我們重視開放性的課堂練習設計，打破了傳統練習具有的封閉性限制，它具有的開放性、靈活性、多變性可以提高學生的分析問題、解決問題的能力，給學生的思維創造更廣闊的空間，有利于激發學生的創新意識，發展其創新思維。我們在問題的選擇上不僅要注重揭示概念本質，加強概念的類比，而且要重視充分運用變式，以突出概念的內涵和外延，建立新舊知識之間的聯系。
　　1.條件型開放習題的設計，有利于提高學生思維的選擇性，培養了學生的創新意識。
　　例1.雙曲線中2a＜2c為什么成立？若改成2a=2c，動點在哪？
　　2.結論型開放題