追根溯

　　眾所周知，要造好房子最重要的是在選定的地域上打地基，只有地基打結(jié)實(shí)了，造出來(lái)的房子才會(huì)牢固，不然就是空中樓閣。數(shù)學(xué)中的概念就像是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的“地基”，在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)，所以只有數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)得扎實(shí)了，才有可能理解數(shù)學(xué)中的各個(gè)知識(shí)與方法，才可能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)中的公式、定理、法則等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中在每一個(gè)新的知識(shí)體系開(kāi)始時(shí)首要的就是讓學(xué)生能夠理解這一體系中的概念，并透過(guò)概念本身去把握概念的本質(zhì)。
　　一、什么是數(shù)學(xué)概念
　　概念是在頭腦里所形成的反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維的基本單位。把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來(lái)，加以概括，就成為概念。概念都具內(nèi)涵和外延，并且隨著主觀、客觀世界的發(fā)展而變化。數(shù)學(xué)概念是在人類歷史發(fā)展過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的，是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征的。
　　二、數(shù)學(xué)概念分類
　　數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系與空間形式的關(guān)系，因此大體來(lái)說(shuō)概念可以分為兩大類，一類是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，這一類的概念是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而成的，與現(xiàn)實(shí)比較貼近，所以人們常常將它們與現(xiàn)實(shí)原型“混為一談”、融為一體，如多邊形、錐體、柱體、平行、垂直等都有這種特性。第二類是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)，這一類是純數(shù)學(xué)抽象物，是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒(méi)有客觀實(shí)際與之對(duì)應(yīng)，如方程、函數(shù)、極限等，這類概念對(duì)建構(gòu)數(shù)學(xué)理論非常重要，是數(shù)學(xué)深入發(fā)展的邏輯源泉。
　　三、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)
　　概念教學(xué)不能只滿足于告訴學(xué)生“是什么”或“什么是”，還應(yīng)讓學(xué)生了解產(chǎn)生這個(gè)概念的背景和引入它的必要的理由，知道它在建立、發(fā)展理論或解決問(wèn)題中的作用。更重要的一點(diǎn)是，對(duì)于概念的學(xué)習(xí)不能僅僅浮于定義描述的語(yǔ)義的理解，也不能只是用來(lái)判斷某個(gè)對(duì)象是否是它的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，還要認(rèn)識(shí)它內(nèi)在所包含的特點(diǎn)性質(zhì)，這樣才能更好地、更清楚地把握好所學(xué)習(xí)的那個(gè)概念。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下，例如，等比數(shù)列的定義：在數(shù)列an中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù)，則這樣的數(shù)列稱為等比數(shù)列。這個(gè)定義能幫助判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，同時(shí)在這個(gè)定義中還有一些細(xì)節(jié)要注意。（1）因?yàn)槭敲恳豁?xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)不可以為0，進(jìn)而作為同一個(gè)常數(shù)的公比ｑ也不可以為0；（2）分析一下公比ｑ分為兩種情況：ｑ>0時(shí)，等比數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)一致，同為正或同為負(fù)，ｑ<0時(shí)，等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相反；（3）還有一個(gè)特殊情況要注意，當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列，在此可以聯(lián)想到等差數(shù)列中公差ｄ=0時(shí)也是常數(shù)列，又引出一個(gè)問(wèn)題：是不是常數(shù)列都既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，在討論之下，可以得到一個(gè)結(jié)論：非零的常數(shù)列才既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。通過(guò)這個(gè)例子，可以看到深入挖掘概念是非常有必要的，這些挖掘出來(lái)的特點(diǎn)性質(zhì)對(duì)于深入下一階段的學(xué)習(xí)和在解決問(wèn)題上是很有必要的。
　　當(dāng)然，為了讓學(xué)生更好地掌握概念，在教學(xué)過(guò)程中一定要注意教學(xué)的方法。教師在備課過(guò)程中要分析教材，了解所要教授的概念的特性，為教學(xué)的開(kāi)始選擇合適的素材，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)概念時(shí)有從感性到理性的過(guò)程，有從現(xiàn)實(shí)到理論的過(guò)程，在此過(guò)程中去掌握概念的不同特征，再通過(guò)一些概念運(yùn)用的訓(xùn)練，加深對(duì)概念的理解，為有效地應(yīng)用概念解決問(wèn)題作鋪墊。例如，在學(xué)習(xí)多面體的時(shí)候，可以先讓學(xué)生自行準(zhǔn)備一些生活中觸手可及的物品作為模型帶入課堂，在課堂上通過(guò)觀察分析來(lái)得出特點(diǎn)性質(zhì)，然后下定義。這種方法是一個(gè)由生動(dòng)的直觀到抽象的思維、再?gòu)某橄蟮乃季S到實(shí)際的應(yīng)用的過(guò)程，學(xué)生接受起來(lái)較為容易，這一種方法比較適用于第一類概念。對(duì)于第二類概念往往是要借助于已知的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。如在講解“等差中項(xiàng)”時(shí)，除了認(rèn)識(shí)“若a，b，c成等差數(shù)列，則稱b為a，c的等差中項(xiàng)”這一定義外，還必須在掌握“等差數(shù)列”的基礎(chǔ)上，得到變式“a－b＝b－c”“2b＝a＋c”，建立算法：a與b的等差中項(xiàng)是。由于學(xué)生習(xí)慣形象思維與記憶，對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)概念要盡量引導(dǎo)學(xué)生從形的角度進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，以獲得概念的直觀、形象支撐。
　　概念的理解是一個(gè)系統(tǒng)工程，概念學(xué)習(xí)的最終結(jié)果是形成一個(gè)概念系統(tǒng)。學(xué)生要理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這個(gè)概念逐步構(gòu)建一個(gè)概念網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)越多、通道越豐富，概念理解就越深刻。所以，概念的學(xué)習(xí)需要一個(gè)過(guò)程，但不是一個(gè)單純的邏輯解析過(guò)程，“講清楚”定義并不足以讓學(xué)生掌握概念。
　　（常州劉國(guó)鈞高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）
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