閑話(huà)希爾伯特問(wèn)題(下)

　　希爾伯特第八問(wèn)題
　　
　　希爾伯特第八問(wèn)題是黎曼假說(shuō)和“其他質(zhì)數(shù)問(wèn)題”。黎曼假說(shuō)（即關(guān)于ζ函數(shù)零點(diǎn)的分布的猜想）：ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)數(shù)部分都是1/2。“其他質(zhì)數(shù)問(wèn)題”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一個(gè)大于 2的偶數(shù)，都可表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和（數(shù)學(xué)圈里稱(chēng)其為 1+1，就是說(shuō)可表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加另一個(gè)質(zhì)數(shù)）。
　　哥德巴赫猜想看上去真是很簡(jiǎn)單，對(duì)任何一個(gè)比較小的偶數(shù)，似乎都不難把它寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。比如偶數(shù) 8 可表示成 3+5，3 和 5 是質(zhì)數(shù)；又如偶數(shù) 12 可表示成 5+7，5 和 7 是質(zhì)數(shù)等等。可要證明對(duì)任何一個(gè)大于 2 的偶數(shù)都能成立，卻比登天還難。對(duì)哥德巴赫猜想以及和它連在一起的一個(gè)名字——陳景潤(rùn)（一九三三——一九九六），很多人可能并不陌生。在文化大革命剛剛結(jié)束的一九七八年，陳景潤(rùn)可以說(shuō)是家喻戶(hù)曉的超級(jí)明星，這在很大程度上是拜名作家徐遲的一篇報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》（《人民文學(xué)》一九七八年一月號(hào)）所賜。文章發(fā)表后，一時(shí)間“洛陽(yáng)紙貴”，各大報(bào)刊爭(zhēng)相轉(zhuǎn)載。陳景潤(rùn)成為科學(xué)與獻(xiàn)身的代名詞，至于他究竟在哥德巴赫猜想上證明的是什么反而成了次要問(wèn)題。其實(shí)陳景潤(rùn)的這項(xiàng)工作在一九六六年五月就已經(jīng)完成了，只是由于“文革”正好在那年開(kāi)始，沒(méi)辦法拿出來(lái)發(fā)表。他所證明的是（陳氏定理）：任何充分大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者最多僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積（即他證明了任何大偶數(shù)都可寫(xiě)成一個(gè)質(zhì)數(shù)加不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，所以稱(chēng)為1+2）。陳氏定理看上去離證明哥德巴赫猜想只有一步之遙，可這最后一道坎時(shí)至今日也沒(méi)人能跨得過(guò)去。
　　有人將哥德巴赫猜想比做數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，但與黎曼假說(shuō)相比，它的重要性終究還是略遜一籌。這主要是因?yàn)棣坪瘮?shù)與質(zhì)數(shù)的分布緊密相關(guān)，而質(zhì)數(shù)的分布不但在數(shù)論的研究中至關(guān)重要，在實(shí)際應(yīng)用上也意義重大。特別是在密碼的加密與解密方面，比如公開(kāi)金鑰加密的RSA算法就是以大質(zhì)數(shù)為基礎(chǔ)的。
　　黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866）在數(shù)學(xué)史上占有極重要的地位，是黎曼幾何學(xué)創(chuàng)始人及復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)始人之一，對(duì)數(shù)學(xué)分析、微分幾何和微分方程都有重要貢獻(xiàn)。黎曼自上小學(xué)開(kāi)始就被視為數(shù)學(xué)天才，校長(zhǎng)專(zhuān)門(mén)派了一位老師教他數(shù)學(xué)。但是很快老師就發(fā)現(xiàn)，他從黎曼那兒學(xué)到的東西比他能教給黎曼的要多得多！在中學(xué)里，校長(zhǎng)干脆讓黎曼到他的私人圖書(shū)室（那里有很多高深的數(shù)學(xué)專(zhuān)著）去自己找書(shū)看。有一次黎曼要求校長(zhǎng)給他推薦一本難一點(diǎn)的書(shū)，為了試試?yán)杪臐摿ΓｉL(zhǎng)建議他去讀勒讓德（A.Legendre）的八百五十九頁(yè)的巨著《數(shù)論》。一星期后，黎曼把書(shū)還了回來(lái)，校長(zhǎng)問(wèn)他書(shū)是否太難，他回答說(shuō)，非常高興校長(zhǎng)給了一本能讓他讀了一星期之久的書(shū)。兩年后，黎曼請(qǐng)求學(xué)校以勒讓德的《數(shù)論》作為他畢業(yè)考試的一部分。盡管兩年來(lái)他從未再摸過(guò)這本書(shū)，卻對(duì)所有的問(wèn)題對(duì)答如流。毫無(wú)疑問(wèn)，《數(shù)論》對(duì)黎曼具有很大影響，使他對(duì)研究質(zhì)數(shù)的分布產(chǎn)生了濃厚的興趣。
　　提出黎曼假說(shuō)的論文發(fā)表于一八五九年。為了闡述和解釋這篇僅僅八頁(yè)長(zhǎng)的論文，愛(ài)德華茲（H.M.Edwards）寫(xiě)了一部三百頁(yè)的專(zhuān)著《黎曼的ζ函數(shù)》(一九七四)。黎曼斷言ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)數(shù)部分都是1/2。到目前為止，所有已知的十五億個(gè)非平凡零點(diǎn)（絕大部分是用計(jì)算機(jī)得到的）全部都與黎曼的猜想相吻合。
　　希爾伯特在一九二○年的一次演講中說(shuō)，他認(rèn)為演講廳里沒(méi)人能活到看見(jiàn)希爾伯特第七問(wèn)題的解決，而他自己應(yīng)該能活著看到黎曼假說(shuō)被證明，大廳里最年輕的人則可能看到費(fèi)爾馬大定理被證明。事實(shí)是，只有他對(duì)費(fèi)爾馬大定理的預(yù)言是大體正確的——它于一九九四年被證明。其余兩個(gè)問(wèn)題則和他的預(yù)言正好相反，他活著看到了第七問(wèn)題的解決，而黎曼假說(shuō)時(shí)至今日還是沒(méi)能被證明。
　　
　　希爾伯特第十三問(wèn)題
　　
　　一般的七次方程式 x7 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 的七個(gè)解，是