物理問題解決中的函數(shù)思想

摘要：本文主要介紹如何用數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想解決物理習(xí)題。

關(guān)鍵詞：物理問題；函數(shù)思想

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148(2011)5(S)-0012-3

培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力是中學(xué)物理教學(xué)的基本要求。函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要組成部分，若以函數(shù)思想來審視物理中的變量之間的關(guān)系，往往能夠化難為易，化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的作用，不但能提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力，而且可以開闊學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理學(xué)習(xí)的深度，激發(fā)學(xué)生的興趣。

1 注意運(yùn)用函數(shù)的表達(dá)形式解決物理問題

用函數(shù)思想審視物理中的變量，建立相應(yīng)變量之間的函數(shù)關(guān)系，通過選擇函數(shù)的表達(dá)形式，如圖像、解析式、列表等，可以將物理中的定量問題和定性問題相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)效果令人驚喜。

例1 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在某一段時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過中間時(shí)刻的速度v1和經(jīng)過中點(diǎn)位置的速度v2，哪一個(gè)大？

分析 如果按照常規(guī)思路，對(duì)問題進(jìn)行定量計(jì)算，要先設(shè)初、末速度，再根據(jù)經(jīng)過中間時(shí)刻的速度v1與經(jīng)過中點(diǎn)位置的速度v2分別跟初、末速度的關(guān)系，列方程求出v1和v2，對(duì)v1-v2運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷正負(fù)，需大費(fèi)周折，才能解決。從另一個(gè)角度，視速度為時(shí)間的函數(shù)，利用函數(shù)的圖像并結(jié)合積分的幾何意義，容易找到簡(jiǎn)捷解法。

解 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v與時(shí)間t的函數(shù)v=f(t)的圖像如圖1所示。

觀察圖像可知，中間時(shí)刻的速度v1就是t=t02時(shí)的速度，直線t=t1將梯形的面積平分，由∫t00f(t)dt的幾何意義可知，中點(diǎn)位置的速度v2就是t=t1時(shí)的速度，中間時(shí)刻的速度v1小于中點(diǎn)位置的速度v2。

運(yùn)用函數(shù)圖像，通過數(shù)形結(jié)合，直觀、形象地反映物理量之間的關(guān)系，既能加深對(duì)物理規(guī)律的理解，又可減少計(jì)算量。

2 關(guān)注函數(shù)的定義域與值域的制約關(guān)系解決物理中的范圍問題

已知一個(gè)物理量的取值范圍，確定另一個(gè)物理量的取值范圍時(shí)，若以函數(shù)思想看待這樣的問題，將一個(gè)物理量視為另一個(gè)物理量的函數(shù)，將定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用到物理問題的解決過程中，讓人感到妙處無窮。

例2 初速度為零的離子經(jīng)過電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路程后進(jìn)入水平放置的兩平行金屬板MN和PQ中間。離子所經(jīng)空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（如圖3），不考慮重力作用。離子的比荷qm（q，m分別是離子的電量與質(zhì)量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打在金屬板上？

分析 離子通過電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。假設(shè)離子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在金屬板上某一點(diǎn)的水平距離為x，只要建立一個(gè)qm跟x的函數(shù)表達(dá)式，視qm為x的函數(shù)，依據(jù)題意確定x的范圍，即定義域，再根據(jù)定義域求值域，從求得qm范圍。

解 當(dāng)離子經(jīng)過電場(chǎng)加速后有

12mv2=qU（1）

在磁場(chǎng)中受到洛侖茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得

Bvq=mv2R（2）

當(dāng)離子打在金屬板上時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有：

R2=x2+(R-d2)2（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得

qm=2Ud2(x2+d24)2B2(4)

(4)式就是qm關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。依題意離子能打在金屬板上，則x的定義域?yàn)閐≤x≤2d，于是可求得qm的值域32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2，所以離子的比荷qm取值范圍為32U289d2B2≤qm≤32U25d2B2時(shí)，離子才能打在金屬板上。

3 運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求物理中的變量問題

已知某一個(gè)或幾個(gè)物理量的變化，討論另一個(gè)物理量的變化和極值時(shí)，若以函數(shù)的觀點(diǎn)看待這些問題，可以用函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值等這些性質(zhì)來解決問題，既可以使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，又能提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力。

例3 如圖4所示，電子在電勢(shì)差U1的加速電場(chǎng)中由靜止開始運(yùn)動(dòng)，然后射入電勢(shì)差U2的兩塊平行極板間的電場(chǎng)中，入射方向跟極板平行，整個(gè)裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉(zhuǎn)角θ變大的是（ ）

A.U1變大，U2變大；

B.U1變小，U2變大；

C.U1變大，U2變小；

D.U1變小，U2變小。

分析 當(dāng)電子加速后，進(jìn)入水平放置的兩塊平行極板間受到電場(chǎng)力作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)，只要建立一個(gè)θ跟U1、U2的函數(shù)表達(dá)式，通過討論函數(shù)的增減性，就可知道θ變大的原因。

解 設(shè)兩平行極板之間的距離為d，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，電子在U1電場(chǎng)中加速后速度為12mv02=U1e

即v0=2U1em

電子從進(jìn)入到射出平行極板所用時(shí)間為

t=Lv0=Lm2U1e

加速度為a，由U2de=ma，得a=U2emd

剛射出平行極板時(shí)，跟電場(chǎng)方向平行的速度大小為

v1=at=LU2emdm2U1e

偏轉(zhuǎn)角度為θ，有tanθ=v1v0=LU22U1d，

這是一個(gè)tanθ跟U1、U2的函數(shù)表達(dá)式。

討論 根據(jù)物理?xiàng)l件0°≤θ≤90°，

當(dāng)U1不變時(shí)，上式為增函數(shù)，故U2增大時(shí)，tanθ增大，θ也增大；

當(dāng)U2不變時(shí)，上式是減函數(shù)，則U1增大時(shí)，tanθ減小，θ也減小。

顯然B為正確答案。

例4 如圖5所示，光滑斜面與水平面夾角是α。在斜面上放一個(gè)質(zhì)量為m圓球，再用光滑平板A擋住。現(xiàn)在緩慢地改變板A與斜面的夾角θ，當(dāng)θ=____時(shí)，A板對(duì)球的作用力最小，最小力為____。

分析 如圖5可知圓球受到三個(gè)力作用，重力mg，斜面對(duì)它的支持力N1，擋板對(duì)它的壓力N2。以豎直方向?yàn)榭v坐標(biāo)軸，水平方向?yàn)闄M坐標(biāo)軸，原點(diǎn)在球心，建立直角坐標(biāo)系。分別將N1、N2分解在x軸、y軸上，根據(jù)平衡條件，確定N2跟θ的函數(shù)表達(dá)式，通過求函數(shù)的最值來解決問題。

解 如圖知在x軸上

N1sinα=N2sin(α+θ)（1）

在y軸上

N1cosα=mg+N2cos(α+θ)（2）

由（1）、（2）得

N2=mgctgαsin(α+θ)-cos(α+θ)

=mgsinαsinθ

由于mgsinα為恒量，這是一個(gè)N2跟θ的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)物理?xiàng)l件α＜θ＜180°，當(dāng)θ=90°時(shí)，sinθ 的最大值為1，故N2有最小值mgsinα。

即當(dāng)θ=90°時(shí)，A板對(duì)球的作用力最小，最小力為mgsinα。

在解決物理問題的過程中，簡(jiǎn)單機(jī)械地套用數(shù)學(xué)工具，有時(shí)無助于問題的解決，若能以數(shù)學(xué)思想來看待這些問題，不但能靈活解決問題，而且能開闊學(xué)生的解題視野，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的積極意義是不言而喻的。

(欄目編輯趙保鋼)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文