三維空間面積勾股定理及其運用

　　摘 要： 二維勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，而三維、四維乃至n維空間勾股定理，是二維勾股定理的延伸和擴展，其運用更具有豐富的時空性和現實性.本文探索三維空間面積勾股定理在高中立體幾何中的運用.
　　關鍵詞： 空間面積勾股定理 射影面積公式 三棱錐體積公式
　　
　　空間面積勾股定理：如果三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三個側面積分別為S、S、S，底面面積為S，那么S+S+S=S.
　　在這個關系式中，蘊藏著豐富的幾何元素間的關系，既有明顯的三角形面積關系，又隱含著三角形的邊、高、角等關系.因此，定理不僅有著廣泛的運用，而且結合三棱錐體積公式、射影面積公式、三角形面積公式，能使解題思路自然，簡潔明快，表達利落.下面舉例說明.
　　1.求距離問題
　　例1：已知三棱錐P-ABC的三個側面互相垂直，它們的三個側面面積都是2，求P到平面ABC的距離.
　　解：易知PA、PB、PC兩兩垂直，設PA=a，PB=b，PC=c，則
　　ab=4ac=4bc=4?圯（abc）=4×4×4?圯abc=8
　　∴V=V=×abc=
　　由空間勾股定理得S+S，得：S=2.
　　又設P到平面ABC的距離為h，由三棱錐體積公式得：
　　×2h=
　　∴h=
　　此法有三巧：求體積，設而不求，妙不可言；求面積，直截了當，干脆利落；求距離，避繁就易，簡捷明了.
　　例2：如圖1，在長方體ABCD-ABCD中，AA=a，AB=b，AD=c，求相鄰兩面內對角線AC與BC1的距離.
　　解：連AD、DC，則BC∥平面ADC，則點D到平面ACD的距離h即為兩異面直線AC與BC的距離.由空間勾股定理得：
　　S=
　　又V=V=abc，由三棱錐體積公式得：
　　h×=abc
　　故h=
　　此法妙在：“不割不補，實為割補”.從整體，看部分，智求體積.
　　2.求角的問題
　　例3：三棱錐S-ABC的三條棱SA、SB、SC兩兩垂直，且SA=SB=a，SC=2a，求二面角S-BC-A.
　　解：設所求二面角S-BC-A為θ，由空間勾股定理得：
　　S==a，由射影面積公式得：
　　cosθ===.所求二面角為arccos.
　　此法優點：求面積快速簡捷，過程精練；求角度，化難為易，立竿見影.
　　例4：如圖2，兩全等矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，且AB=a，BC=b，求異面直線AC和BF所成的角.
　　解：以矩形ABCD為底面，矩形ABEF為側面，作長方體ABCD-FEHG，連CG，則CG∥BF，∴∠GCA為兩異面直線AC與BF所成的角.
　　由空間勾股定理得：
　　S=S+S+S
　　即S=（b）+（ab）+（ab）
　　∴S=b，由三角形面積公式得：
　　AC?CG?sin∠ACG=S，即??sin∠ACG=b，
　　∴sin∠ACG=，
　　故異面直線AC和AF所成的角為arcsin.
　　此法特點：補全圖形，由部分看整體，一目了然.
　　3.求證幾何元素間的關系問題
　　例5：三棱錐V-ABC的三條側棱兩兩垂直，三個側面與底面所成的角分別為α、β、γ，求征： cosα+cosβ+cosγ=1.
　　證明：由空間勾股定理可知：S=S+S+S.
　　又由射影面積公式得：cosα=，cosβ=cosγ=.
　　∴cosα+cosβ+cosγ===1.
　　此法技巧：“死圖活看”，巧用射影面積公式.
　　例6：設三棱錐S-ABC，其側棱長分別為a、b、c，且三條側棱兩兩垂直，由其頂點S到底面的高為，求證：=++.
　　證明：由空間勾股定理得：S=
　　又V=abc
　　由V=V，得?h=abc.
　　∴h（ab+ac+bc）=abc，即=++.
　　此法技巧：“優選底面”，靈活選擇底和高.
　　4.求最值問題
　　例7：如圖3，在平面α內有一個以AB為直徑的圓，AB=2a，C為圓周上任意一點，PC⊥α，且PC=a，求C在圓周上哪一位置時，△PAB面積最大？
　　解：設AC=x，則BC=，由空間勾股定理得：
　　S=（ax）+（a）+（）
　　=-x+ax+a=-（x-2a）+2a，
　　當x=2a即x=a時，S最大，也就是當AC=時，（S）=a.
　　此法優點：利用定理，求表達式，輕而易舉.
　　例8：如圖4，過球面上任一點M作互相垂直的三條弦MA、MB、MC，球的半徑為R，AB=a，
　　解：設MB=x，則MA=，又MA+MB=AB，
　　MC+AB=4R，∴MA+MB+MC=4R，
　　即MC=4R-MA-MB=4R-（a-x）-x=4R-a，
　　由空間勾股定理得：S=S+S+S，
　　S=（MA?MB）+（MB?MC）+（MA?MC）
　　=（a-x）x+x（4R-a）+（a-x）（4R-a）
　　=-x+ax+aR-a
　　=-（x-a）+aR-a
　　當x=a即x=a時，S=a.
　　有趣的是不管M點在小圓上怎樣運動，此題蘊含兩個定值問題：
　　（1）MA+MB+MC=4R；（2）MC=4R-a，即C點運動的軌跡是球面上平行于平面MAB的小圓.