亞式期權的定價

　　摘 要： 在標的資產的對數收益非正態的情況下，本文通過時間序列的動態結構推導出股票對數收益的Edgeworth展開，由此推導幾何平均亞式期權值，并看出對數收益過程的非高斯性及相依性對期權定價的影響.
　　關鍵詞： 平穩過程 累積量 Edgeworth展開式 亞式期權
　　
　　引言
　　亞式期權又稱為平均價格期權，是在總結真實期權，虛擬期權和優先期權等期權實施的經驗教訓基礎上推出的新型期權.與標準期權的區別在于：在到期日確定期權收益時，用期權合同期內某段時間標的資產價格的平均值來代替到期日的標的資產的價格，這段時間稱為平均期.在對價格進行平均時采用算術平均或幾何平均.本文考慮幾何平均亞式期權的定價問題，主要采用Edgeworth展開式近似對數收益分布，從而可得到幾何平均亞式期權價格的解析近似式.很多作者都使用過不同的統計序列展開式進行歐式期權定價（像Jarrow and Rudd，1982;Corrado and Su，1996a，b，1997;Kariya，1993）.本文將采用類似的方法得到標的資產對數收益分布的Edgeworth展開式，從而得到幾何平均亞式期權價格的解析近似式.
　　1.累積量
　　定義1：設X是一個隨機變量，它的n+1階矩存在，φ（t）為其特征函數，將lnφ（t）作Taylor展開
　　lnφ（t）=（it）+o（t）（1）
　　稱展開式中系數c為X的第k階累積量.
　　定義2:設（X，…，X）為n維隨機變量，它的n+1階矩存在，φ（t，…，t）為其特征函數，稱Cum（X，…，X）為（X，…，X）的n階累積量，其中
　　Cum（X，…，X）=（-1）（p-1）!E（X）（2）
　　這里v（j）是（1，…，n）的非空子集，v=（v，…，v）為（1，…，n））的任一分割，1≤p≤n.
　　特別地，當n=2，3時，
　　Cum（X，X）=E（XX）-EXEX，
　　Cum（X，X，X）=E（XXX）-EXE（XX）-EXE（XX）-EXE（XX）+2EXEXEX
　　注：（1）式中的c可用Cum（X，…，X）表示出來，例如
　　c=Cum（X，X），c=Cum（X，X，X），…
　　2.Edgeworth展開
　　對數收益的分布在真實市場往往是非高斯的和非對稱的，我們將用Edgeworth展開來反映這些收益的分布.Edgeworth展開式具有好的分析形式，使用它可以得到更合理的期權價格.
　　設X為i.i.d，EX=μ，DX=σ＜∞，令S=（X-μ）/（σ），以F（x）表示S的分布函數，以Φ（x）和?準（x）分別表示標準正態分布的分布函數和密度函數.由中心極限定理知
　　?坌x∈R，F（x）→Φ（x）（n→∞）.
　　進一步，F（x）有如下更精確的表示式
　　?坌x∈R，F（x）=Φ（x）-?準（x）［++…++…］，
　　稱上式為S的分布的Edgeworth展開式，其中Q（x）是以X的累積為系數的多項式，例如
　　Q（x）=λ（x-1），
　　Q（x）=λx+（λ-λ）x+（λ-λ）x，
　　這里λ=c/σ，稱λ為X的第k階標準累積.
　　3.亞式期權的Esscher價格定義
　　設T為期權的到期日，S為標的資產在時刻T價格，K為敲定價.文【5】對歐式看漲期權在時刻T的價格定義為
　　C=exp（-rτ）E（S-K）.
　　其中r為無風險利率，是一常數，E表示在已知T及以前時刻的資產信息的條件下的條件期望，（x）=max{x，0}.
　　類似于文【5】我們給出標的資產對數收益的定義和亞式期權的Esscher價格定義.
　　定義3：設（S;t≥0）是標的資產的價格過程，對數收益X由下式定義，
　　lnS-lnS=△μ+△X，j=1，…，N（3）
　　其中T為計算標的資產平均值的起點，N=τ/△，τ=T-T，△為分割的小區間的長度，T為到期日.
　　亞式看漲期權在時刻T的Esscher價格定義為
　　GA=eE ［（S）-K］
　　 =eE ［（S）-K］.
　　亞式看跌期權在時刻T的Esscher價格定義為
　　GA=eE ［K-（S）］.
　　由（3）式知
　　S=Sexp（△μ+△X），
　　S=Sexp（2△μ+△（X+X）），
　　?噎
　　S=Sexp（N△μ+△（X+X+…+X））.
　　故
　　（S）=Sexp［△μ+△N（N-j-1）X］
　　 =Sexp［μ+τN（N-j-1）X］.
　　于是
　　GA=eE ［Sexp［μ+τN（N-j-1）X］-K］.
　　GA=eE ［K-Sexp［μ+τN（N-j-1）X］］.
　　4.亞式期權的定價
　　4.1基本模型
　　B-S模型假定標的資產價格服從幾何布朗運動，它的波動率為常數.而在實際市場運行中，標的資產的對數收益往往服從非高斯分布且非對稱.因此我們假定標的資產的對數收益{X}是相依過程，且滿足:
　　（A1）{X}是四階平穩的，即
　　（i）EX=0;
　　（ii）Cum（X，X）=C（u）;
　　（iii）Cum（X，X，X）=C（u，u）;
　　（iv）Cum（X，X，X，X）=C（u，u，u）.
　　（A2）累積量C（u，u，…，u），k=2，3，4滿足
　　（1+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
　　（A3）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
　　（A4）Z的j階累積量是O（N），其中Z=N（N-j+1）X.
　　在（A2）下，{X}有k階累積譜密度，以f表示{X}的第k階累積譜密度在頻率為0的值，即
　　f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
　　4.2{X}滿足AR模型時的亞式期權定價.
　　由前知，（S）的分布依賴于Z=N（N-j-1）X的分布.下面我們來考慮Z的Edgeworth展開式.
　　定理1:假定（A1）-（A4）成立，則Z=（πf）Z的密度函數的3階Edgeworth展開為
　　g（z）=φ（z）{1+N（1-）H（z）+NH（z）+NH（z）}+o（N）.（4）
　　其中?準（g）為標準正態分布的密度函數，H（?）為k階hermite多項式，k=2，3，...，7，且f′=|u|C（u）.
　　定理1的證明可參考文【13】.很多作者都使用不同的統計序列展開進行期權定價，這里我們將使用標的資產對數收益分布的Edgeworth展開式給出亞式期權的定價公式.我們將考慮對數收益過程{X}滿足AR模型時的亞式期權定價問題.
　　設X=aε，t∈Z
　　其中{ε}是不相關r.v序列，并作以下假定：
　　（B1）{ε}是四階平穩的，即
　　（i）Eε=0;
　　（ii）Cum（ε，ε）=C（u）;
　　（iii）Cum（ε，ε，ε）=C（u，u）;
　　（iv）Cum（ε，ε，ε，ε）=C（u，u，u）.
　　（B2）累積量C（u，u，…，u），k=2，3，4滿足
　　（1+|u|）|C（u，u，…，u）|＜∞，j=1，2，…，k-1.
　　（B3）{a}滿足（1+|j|）|a|＜∞.
　　（B4）|u||C（u，u，…，u）|=o（1），j=1，2，…，k-1.
　　在（B2）下，{ε}有k階累積譜密度，以f表示{ε}的第k階累積譜密度在頻率為0的值，即
　　f=（2π）C（u，u，…，u），k=2，3，4.
　　
　　在（B1）-（B4），（A4）下，我們可得到以下推論.
　　定理2:假定（B1）-（B4）及（A4）成立.令
　　a=exp（-rτ），
　　a=exp（μ+τσA），
　　d=（ln（）+μ+f）/（f），
　　d=d-（f）.
　　則GA及GA可表為
　　GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
　　 +Nπ（f）G+o（N）.（5）
　　GA=G+N（1-f′）G+N（2π）fG
　　 +Nπ（f）G+o（N）.（6）
　　其中
　　G=a{aSΦ（d）-KΦ（d）}，
　　G=aaS{（f）H（-d）?準（d）+（f）Φ（d）}，k=2，3，6.
　　A=a，f=A，
　　f′=2|j|aa，
　　G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
　　M=E{exp（τσA）Z}.
　　注：從（5）和（6）式中可以看出亞式期權價格的漸進擴張依賴于f′，f，k=2，3，…，7，因此，我們可以看出非高斯性和相依性對對數收益過程的高階期權值的影響.
　　5.定理2的證明
　　由（B1）-（B3）及X=aε，t∈Z知f=Af.k=2，3
　　再由（A2）可得
　　C（u）=var（aε，aε）=σaε.
　　故
　　f=A，f′=σf′.
　　于是==f′，=（2π）f，
　　=（2π）f，=（2π）f′f，
　　=（f），
　　G=G-a［Sexp（μ）M-K］，
　　M=E{exp（τσA）Z}.
　　
　　參考文獻：
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