優(yōu)化過程教

　　數(shù)學教學是數(shù)學思維活動過程的教學，讓學生看到自己的思維過程，主動參與知識的發(fā)現(xiàn)，是提高學生學習積極性和發(fā)展其數(shù)學能力的有效措施。因此，教師應將數(shù)學家或作者的思維過程，以及自己處理解決問題的思維過程展現(xiàn)給學生，讓學生借鑒、理解思維方法；也要讓學生認識解決問題的思維曝光，便于教師反饋評價，形成教與學的思維回路。暴露數(shù)學思維過程，學生可以學會如何思維，也可糾正錯誤的思維，從而培養(yǎng)理性思維，優(yōu)化思維品質。
　　一、精心設計教學，充分暴露過程
　　教師要設計出科學、清晰的教學思路，暴露出數(shù)學家、教材編寫者、教師、學生的思維過程。教學思路不等于教師的思路，也不等于學生和教材的思路，更不等于數(shù)學家的思路，而是在協(xié)調上述4個思維過程（思路）相互關系上形成的一條以學生思維為核心、教與學協(xié)同發(fā)展的整體思路，這樣才能真正做到以思維過程為中心來組織教學。例如數(shù)學概念是整個數(shù)學知識結構的基礎，是構成數(shù)學知識體系的“細胞”。現(xiàn)行九年義務教學教材中許多內容都簡化了概念的提出過程，省略了暴露概念提出的豐富知識背景及發(fā)展、探索過程，而這些概念是如何抽象、概括的，解決問題的方法是如何構想的，學生都甚感茫然。因此教師不應急于把概念全盤托出、一言了之，而應精心探究，重新組織教學內容，設計合理而完美的教學流程，展現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)展過程，充分暴露知識的背景，為學生創(chuàng)設問題情景，以順應學生的心理需求和思維發(fā)展規(guī)律。例如在教學有理數(shù)乘方概念時，可通過設計環(huán)環(huán)相扣的提問，引入概念：（1）棱長是5厘米的正方體的體積如何表示?（2）4個負6相乘，用式子如何表示?4個字母a相乘呢?（3）上述幾個式子都是什么運算?（4）乘法運算的結果是什么?（5）上述各式的因數(shù)有何關系?（6）提出乘方概念。然后安排一些坡度適宜的題以使學生初步形成乘方概念。這樣的概念教學不僅能充分暴露問題的提出、發(fā)展過程，而且能使學生在整個過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，達到思有源泉、思有方向、思有順序、思有所獲。
　　總之，講解概念要求構建情境，提供素材，揭示概念的形成過程；講解定理（公式）要求模擬定理（公式）的發(fā)現(xiàn)過程；例題、習題的教學要求探索變式，拓廣成果，對解題思路進行內化、深化探索，總結升華，也就是說，應注意數(shù)學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程，使學生在這些“過程”中展開思維，發(fā)展能力。
　　二、反思學生所想，倒攝暴露思維
　　學生解題往往只注重結論的正確與否，而很少關注這個結論的思維過程，并從中總結經(jīng)驗，深化知識。因此，教師看到學生的正確答案時，不能就此滿足，而應該啟發(fā)如何發(fā)現(xiàn)、選擇與調控解題思路，引導學生（根據(jù)需要和可能）去反思思維過程，倒攝結論的形成路線，達到暴露思維的目的。例如在一元二次方程的根與系數(shù)關系應用的一節(jié)習題課教學中，我叫一名學生板演習題：已知兩數(shù)a、b滿足ab≠1，且2a+8a+3=0，3b+8b+2=0，則有=（）。這個學生觀察片刻，便添上了正確答案1.5。如此神速，令一些同學目瞪口呆。我抓住契機，誘導學生自我倒攝思維過程，既優(yōu)化了該生自身的思維品質，又啟迪了其他學生的思維。
　　計算是七年級數(shù)學的教學重點也是難點，如何把握這一重點，突破這一難點呢?例如在上完有關冪的性質后，進入下一階段——單項式的乘除法時，我設計了如下兩個例題：
　?。?）請分別指出（-2）×2，-2×2，-2-2，2-2的意義。
　?。?）請判斷下列各式：
　?、賏+a=a
　　②a÷a=a=a
　?、?ag（-a）=（-a）+2=-a
　?、埽?a）÷a=0
　　⑤（a-2）·a=a+3+1=a
　　解后我便引導學生進行回顧小結：（1）計算常出現(xiàn)哪些錯誤?（2）出現(xiàn)這些錯誤的原因有哪些?（3）怎樣克服這些錯誤呢?同學們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在計算的準確率、計算的速度兩方面都有了極大的提高。
　　三、實施小題大做，顯微暴露思維
　　數(shù)學中的許多細小部分往往蘊涵著十分豐富的思想內含，存在著很大的訓練價值。在這些地方教師要善于化隱為顯，“小題大做”，挖掘其精髓，促使學生在顯微中充分暴露思維過程，發(fā)揮其應有的潛在功能。這樣不僅能活躍學生思維，拓寬思路，而且能激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)探索能力，長期堅持下去，形成良性循環(huán)，十分有利于學生智力的發(fā)展和數(shù)學能力的提高。例如絕對值概念：
　　|a|=a（a>0）0（a=0）-a（a<0）
　　教師教會學生這一代數(shù)定義固然重要，但更重要的是引導學生清晰地領會利用分類思想解決問題的方法。所以在講授時應采用慢鏡頭式的思維剖析，暴露分類思想的思維過程，為后面的廣泛應用奠定堅實的基礎。
　　例如學生在解“ax+b＝cx+d”類型的一元一次方程時，很容易在符號上出錯，從而導致答案的錯誤。教師可以對學生進行“小題大做”，顯微暴露。
　　解方程6x-7=4x-5，學生板練如下：
　　解：6x+4x=7-5 10x=2 x=0.2 （1）
　　我在教學過程中并沒有隨口問：“同學們，這個同學做得對嗎？”而是問：“同學們，還有其它不同的解答嗎？”學生陷入了沉思，經(jīng)過演算，又有許多同學舉手了，其他解答如下：
　　解：6x-4x=-5-7 2x=-12x=-6 （2）
　　解：6x-4x=-5+72x=2 x=1（3）
　　“那么這個一元一次方程到底還有沒有其它的解呢？如果有的話，一共有多少個解呢？”
　　討論結果是：這個一元一次方程的解只有一個，解法（3）才是正確的。
　　學生在學習一元一次方程“ax+b=cx+d”的解法時，逐步體會到了化歸思想（使方程逐步轉化為“x＝a”形式），而在這個過程中出現(xiàn)各種錯誤（主要是忽略了方程的項是連同前面的符號）是學生（特別是基礎不夠扎實的同學）的共性，我根據(jù)其數(shù)學思維過程的呈現(xiàn)，引導他們積極探索，使他們經(jīng)歷了“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程，優(yōu)化了學生的思維品質，提高了數(shù)學思維能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實踐能力。
　　我曾經(jīng)聽過《多邊形的內角和》的教學的一堂優(yōu)質課：執(zhí)教老師這樣安排學生探究，逐步暴露學生的思維過程，讓學生在過程學習中掌握數(shù)學思想方法：
　　探索一：老師拿出一張四邊形紙片，請同學們回答這四邊形的內角和為多少度？
　　學生用多種方法得出結果：1.直接量出每個內角度數(shù)，然后相加；2.把四邊形分成三角形，計算內角和；3.利用已經(jīng)知道的結果；……
　　引導學生思考：在方法2中有幾種不同的分法？
　　探索二：再拿出一張五邊形紙片，要求學生用分割成三角形的方法，求五邊形的內角和。如果是六邊形、七邊形呢？
　　當學生經(jīng)歷、體驗了不同的探索方案后，再引導學生思考：從剛才的探究中，你又發(fā)現(xiàn)了什么？你是怎么推導出來的？這種思考方法對自己今后學習有什么啟發(fā)？
　　通過親身體驗、反思，學生獲得了一種重要的數(shù)學思想方法，學會了從多角度去思考體會探索的方法、策略，并在探究中不斷地展現(xiàn)自己的思維過程，加強了數(shù)學知識和能力的相互溝通，提高了問題解決的能力。
　　四、了解學生難惑，鋪墊暴露思維
　　數(shù)學解題過程是思維的過程，解題方法的優(yōu)劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低。而思維的提高與發(fā)展又依賴于解題過程中所創(chuàng)設的問題情景，所以解題訓練是培養(yǎng)思維能力的良田沃土。一般來說，綜合性能愈強，知識跨度愈大的數(shù)學題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，學生就愈難以理解，思維的訓練價值愈大。這就要求教師精心設計，作必要的鋪墊，以減少坡度，順利地從未知引渡到已知。這種鋪墊引渡，實質上就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來，化作切實可行的小步子。例如學過二次函數(shù)的頂點式內容之后，讓學生解答這樣一道題目：（如圖1）在一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，問此球能否投中？
　　
　　學生紛紛建立平面直角坐標系（如圖2），點（4，4）是圖中這段拋物線的頂點，由頂點式解得這段拋物線對應的函數(shù)為：y=-（x-4）+4（0≤x≤8）
　　當x=8時，y=
　　∵籃圈中心距離地面3米
　　∴此球不能投中
　　個別學生運用拋物線的對稱性，觀察出該拋物線經(jīng)過了（8，）點，得出了同樣的結論。
　　學生一般做完題就萬事大吉，很少有人能夠深入地反思，因此錯過了研究探索的契機。我不失時機地發(fā)揮指導作用，引導學生思索。
　　師：若假設出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球命中?
　　生：跳得高一點；向前平移一點。
　　師：在出手角度和力度都不變的情況下，小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?（如圖3）
　　師：在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃，也能將籃球投入籃圈？（如圖4）
　　這是一個以學生日常生活為背景，適合初中學生探究的問題，學生可以初步學會從數(shù)學角度去解決實際問題，掌握數(shù)學的思維方法，將探究、創(chuàng)新活動貫穿于課堂教學，使學生的學習由被動灌裝變?yōu)橹鲃拥奶剿鳎瑢W生的自主性、能動性和創(chuàng)造性得到培養(yǎng)。可見鋪墊思維暴露，實質是給學生架設“梯子”，促使學生思維躍上“臺階”。
　　五、開展誘錯悟誤，糾繆暴露思維
　　在學習活動中，學生的思維錯失和思維定勢偏差往往帶有很強的主觀性，常又具有普遍性。抓住它作剖析治理，有較大的訓練價值?！吨行W數(shù)學》初中（教師）版2004年第5期刊登了這樣的教學案例：一位初一的老師在講完負負得正的規(guī)則后，出了這樣一道題：“3×（-4）=?”A學生的答案是“9”。老師一看：“錯了!”于是馬上請B同學回答，這位同學的答案是“12”，老師便請他講一講算法：……下課后聽課的老師對給出錯誤的答案的學生進行訪談，那位學生說：站在-3這個點上，因為乘以“一”，所以要沿著數(shù)軸向相反方向移動四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯了，怎么錯的?為什么會有這樣的想法?又怎樣糾正呢?如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。因此，教師有時還應有必要采用多種手段如相似因素的遷移、思維定勢的誘導、特殊條件的遺漏、應具條件的欠缺、沖動心態(tài)的干擾、終極目標的誘惑等巧妙設置某種誘誤情境，讓學生充分暴露病源，然后引導他們進行自我治療，從“陷阱”中掙扎出來，走出誤區(qū)，吃塹長智。但是學生在學習中的謬誤，有時比較隱蔽，隱藏于深層次中，不充分暴露思維過程，就治不到“點”子上，Byl3U6ePCns+PY0AR5w1ESSkhiierYViVwCCf5FL49s=挖不到“根”子上。教師在為學生糾繆救失時，要重視思維過程的展現(xiàn)，以便從深層次上作診斷和矯治。例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角等于?搖?搖?搖?搖。學生往往錯解為30°，錯誤的原因就是學生沒有認真理解“三角形的高”這個知識點。他們認為“三角形的高”都在三角形內部。學生通過反思、討論，知道鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，從而得到另一解為150°。通過反思，學生們發(fā)現(xiàn)本題的錯誤+qcdH2YGE4FwO6FZfSQbmSzIOq7bqUYBKe48y338tYk=在于對圖形的分類不全面造成漏解。
　　總之，面對學生的失誤，老師不要過早地點明，而應在暴露學生思維失誤的過程中，讓學生自我發(fā)現(xiàn)，并在老師的正確思維的積極引導下自我糾偏。同時，在糾繆過程中彌補學生的知識缺陷和思維缺陷，更有力地促進思維日益縝密。
　　六、言盡但是意存，延伸暴露思維
　　教師指導學生解題，常有這種現(xiàn)象，題目解完了，但學生的思維過程并沒有就此結束，正在向縱深拓進，可謂“言盡意存”。教師若能有效地抓住這個理想的思維機會，把延伸的思維過程揭示出來，也是很有訓練價值的。譬如，解后審視解題過程，評價原認識過程、檢查解題過程是否準確，討論或論證是否嚴密，方法是否恰當，有沒有更簡潔更高明的方法，對所得到的結果能否進一步引申推廣，能否總結出規(guī)律來，等等。例如：已知一元二次方程ax+bx+c=0，兩實根的平方和為m，兩實根的和為n，試求am+bm+2c的值。對于此題，很多學生在練習時，沒有清晰的思路；有些學生考慮了根與系數(shù)的關系，雖然能解出此題，但過程較為繁瑣。于是我在點評時，鼓勵大家反思題目已知及所求目標的特征，比較所求目標am+bm+2c與方程ax+bx+c=0，就會發(fā)現(xiàn)它們中a、b、c出現(xiàn)的順序完全一致，只是目標中c的系數(shù)為2，方程中c的系數(shù)為1，而從1到2的最簡單的方法就是加法。經(jīng)過如此反思、探索，基礎較好的學生馬上頓悟：為什么不利用方程根的定義來解決這一問題呢？于是得到了簡捷的求法。
　　通過對解題思維的反思，學生重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結論，激活了思維，開闊了思路，使思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到了培養(yǎng)和發(fā)展。
　　綜上所述，通過延伸思維引導學生自我總結和領悟解題中的數(shù)學思維與數(shù)學方法，積累對數(shù)學知識聯(lián)系的整體感知，這對于培養(yǎng)學生思維的評價能力、發(fā)散能力、創(chuàng)造能力，提高學生的數(shù)學素質大有裨益。過程教學是很精彩的，但必須是科學的、合理的、自然的，否則，過程教學就只是花架子，起不到任何培養(yǎng)學生思維能力的作用。
　　
　　參考文獻：
　　［1］張乃達.思維的基本結構與發(fā)現(xiàn)法教學［J］.數(shù)學通報，2004，（2）.
　　［2］涂榮豹.談提高對數(shù)學教學的認識［J］.中學數(shù)學教學參考，2006，（1-2）.
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