一道代數題的幾種解法

　　摘 要： 作者針對教材中的一道代數題，分別采取多項式的帶余除法，多項式的泰列展式，二項式定理，范德蒙行列式，給出它的四種解法。
　　關鍵詞： 帶余除法 泰列展式 二項式定理 范德蒙行列式
　　
　　在教材（即文獻）附錄習題的第25題：
　　令f（x）∈P［x］，i=0，1，2…，n-1（n為自然數，a∈P）.證明：若（x-a）|f（x）x，則（x-a）|f（x），i=0，1，2，…，n-1.
　　該題條件比較復雜，學生在做這道習題時，普遍感覺證明起來比較困難。下面從多項式的帶余除法、多項式的泰列展式、二項式定理、范德蒙行列式出發，給出四種解法。
　　方法1： 分析：這道題目是關于多項式整除的，自然就想到了運用多項式的帶余除法證明該題。
　　證明：對于多項式f（x），（x-a）∈P［x］，存在q（x）∈P［x］，r∈P，使得f（x）=q（x）（x-a）+r，0≤i≤n-1
　　只需證明r=0，i=0，1，2，…，n-1即可.
　　于是
　　f（x）=q（x）（x-a）+r，0≤i≤n-1
　　從而
　　f（x）x=q（x）（x-a）x+rx
　　再由假設條件（x-a）|f（x）x，得（x-a）|rx
　　所以rx，即有r=0，i=0，1，2，…，n-1.
　　從方法1我們看到解這道題的關鍵就是將f（x），i=0，1，2，…，n-1表示成x-a方冪的形式。于是利用多項式在x=a的泰列展式就得到了方法2，利用二項式定理就得到方法3。
　　方法2：證明：假設f（x）是m階的，那么它在x=a的泰列展式是：
　　f（x）=f（a）+（x-a）+（x-a）+…+（x-a）
　　=f（a）+（+（x-a）+…+（x-a）（x-a）
　　記g（x）=（+（x-a）+…+（x-a）），
　　于是
　　f（x）=f（a）+g（x）（x-a），i=0，1，2，…，n-1.
　　再利用方法1的證明過程即可.
　　方法3：證明：假設f（x）=ax+ax+ax+ax+a，
　　則f（x）=ax+ax+ax+ax+a
　　又因為
　　（x-a+a）=（x-a）+C（x-a）a+…+C（x-a）a+a
　　=［（x-a）+C（x-a）a+…+Ca］（x-a）+a
　　記g（x）=（x-a）+C（x-a）a+…+Ca，
　　于是
　　x=g（x）（x-a）+a，j=1，2，…，m
　　從而
　　f（x）=［ag（x）+ag（x）+…+ag（x）+ag（x）］（x-a）+f（a）
　　其中i=0，1，2，…，n-1.
　　再利用方法1的證明過程即可.
　　在說明方法4之前，先看一個例題。
　　例題1（見文獻第一章習題25）：證明：若（x+x+1）|f（x）+f（x）x，則（x-1）|f（x），（x-1）|f（x）.
　　證明：因為x+x+1在復數域中有兩個根為ε、ε，其中ε＝cos+isin，
　　又因為（x+x+1）|f（x）+f（x）x，
　　所以ε、ε也是f（x）+f（x）x的兩個復根，并注意到ε=1，所以
　　f（1）+f（1）ε=0f（1）+f（1）ε=0
　　解此方程組得f（1）=0，f（1）=0.
　　于是（x-1）|f（x），（x-1）|f（x）.
　　在證明這道例題的過程中，實際上我們是利用x+x+1在復數域中有兩個不等的復根ε、ε，構造了一個系數行列式為范德蒙行列式的方程組，從而確定該方程組只有零解。這道例題的形式和我們要證明的題形式有些相似，我們也可以通過構造系數行列式為范德蒙行列式的方程組，使問題得到解決。
　　方法4：證明：若a=0，則結論是顯然成立的.于是可設g（x）=x-a，a≠0 ，它在復數域中的n個根分別為α，α，…，α.
　　又因為
　　（g′（x），g（x））=（nx，x-a）=1，
　　所以α，α，…，α是n個不相等的非零數.
　　再設F（x）=f（x）x，
　　從而α，α，…，α也是F（x）n個不相等根.
　　于是
　　F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0……F（α）=f（α）α=f（a）+f（a）α+…+f（a）α=0
　　即
　　1 α α… α1 α α… α… … … … …1 αα … α）f（a）f（a）…f（a）=0
　　因此f（a）=f（a）=…=f（a）=0，從而有（x-a）|f（x），i=0，1，2，…，n-1.
　　
　　參考文獻：
　　［1］郭聿琦，岑嘉平，徐貴桐.線性代數導引［M］.科學出版社.
　　［2］北京大學幾何代數教研室.高等代數［M］.高等教育出版社.
　　［3］趙興杰.高等代數教學研究［M］.西南師范大學出版社.
　　
　　（賈松芳為通訊作者）