超級畫板探究冪函數性質

　　摘 要： 超級畫板是一款專業的教育軟件，它所擁有的函數作圖功能可以用來動態地制作冪函數圖像，使教師教學得心應手。
　　關鍵詞： 冪函數 超級畫板 動態幾何
　　
　　函數圖像是討論函數性質的重要載體。對于冪函數y=x，教材［１］是在同一直角坐標系內制作y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的圖像，通過觀察，從而得到冪函數的定義域、值域、奇偶性、單調性及公共點等相關結論。但僅根據幾個特殊的函數圖像而推出冪函數的一般性質，是有所欠缺的。
　　利用超級畫板強大的作圖和分析功能，以及其對函數圖像能進行直接操作的優越性，圖像的動態演示功能，重復引起變化的關鍵因素，局部放大，等等，可以使我們方便地觀察函數的整體變化情況，從中獲得大量關于函數特征的信息。
　　（1）函數作圖工具直接繪制函數y=x，變量范圍可取（-6，6）；插入變量對象a，選擇范圍［-5，5］；增加動畫按鈕a，范圍［-5，5］，一次運動（圖1）；
　　（2）從左向右拖動滑桿a，或者點擊動畫按鈕，可以實時看到圖像在動態變化；
　　（3）把函數自變量范圍改為（0，5），選中曲線，右鍵增加“跟蹤”，再拉動滑桿或點擊動畫按鈕，可以看到動態的跟蹤過程（圖2）。
　　（4）通過動手實踐，我們可以得出以下性質：
　　①函數經過公共點（1，1）；
　　②a＞0時，y=x在（0，+∞）上為增函數；a＜0時，y=x在（0，+∞）上為減函數；
　　③在第一象限［1，+∞），y=x繞點（1，1）逆時針旋轉，指數a增大；
　　④y=x不會在第四象限出現。
　　利用類似方法，可以探究指數函數y=x和對數函數y=log的圖像性質，從而得到如下有關重要性質：
　　①y=a繞點（0，1）逆時針旋轉，底數a增大：當a＜0時，原函數在R內單調減；當a=0時，原函數為在x軸上（0，+∞）內的一條射線；當a＞0時，原函數在R內單調增（圖3）；
　　②y=log繞點（1，0）順時針旋轉，底數a增大：當0＜a＜1時，原函數在（0，+∞）內單調減；當1＜a時，原函數在（0，+∞）內單調增（圖4）。
　　這樣，有關指數函數、對數函數、冪函數等相關性質就串聯起來了。
　　指數函數、對數函數、冪函數概念是中學必修的3類基本初等函數。教材中是通過指數式、對數式引入指數函數、對數函數，采用8個具體函數圖像解析冪函數概念。而這些過程并不能很好地體現這三個函數的圖形變化趨勢，各類函數性質也難以得到綜合。通過超級畫板，教師在課堂上能即時作出各類函數圖像，并使其動態變化。這樣性質的總結便能順其自然，一氣呵成。
　　
　　參考文獻：
　　［1］中學數學課程教材研究開發中心.數學必修1［M］.北京：人民教育出版社，2004.