超級畫板探究冪函數(shù)性質(zhì)

　　摘 要： 超級畫板是一款專業(yè)的教育軟件，它所擁有的函數(shù)作圖功能可以用來動態(tài)地制作冪函數(shù)圖像，使教師教學(xué)得心應(yīng)手。
　　關(guān)鍵詞： 冪函數(shù) 超級畫板 動態(tài)幾何
　　
　　函數(shù)圖像是討論函數(shù)性質(zhì)的重要載體。對于冪函數(shù)y=x，教材［１］是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)制作y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的圖像，通過觀察，從而得到冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性及公共點等相關(guān)結(jié)論。但僅根據(jù)幾個特殊的函數(shù)圖像而推出冪函數(shù)的一般性質(zhì)，是有所欠缺的。
　　利用超級畫板強(qiáng)大的作圖和分析功能，以及其對函數(shù)圖像能進(jìn)行直接操作的優(yōu)越性，圖像的動態(tài)演示功能，重復(fù)引起變化的關(guān)鍵因素，局部放大，等等，可以使我們方便地觀察函數(shù)的整體變化情況，從中獲得大量關(guān)于函數(shù)特征的信息。
　?。?）函數(shù)作圖工具直接繪制函數(shù)y=x，變量范圍可?。?6，6）；插入變量對象a，選擇范圍［-5，5］；增加動畫按鈕a，范圍［-5，5］，一次運動（圖1）；
　?。?）從左向右拖動滑桿a，或者點擊動畫按鈕，可以實時看到圖像在動態(tài)變化；
　?。?）把函數(shù)自變量范圍改為（0，5），選中曲線，右鍵增加“跟蹤”，再拉動滑桿或點擊動畫按鈕，可以看到動態(tài)的跟蹤過程（圖2）。
　?。?）通過動手實踐，我們可以得出以下性質(zhì)：
　　①函數(shù)經(jīng)過公共點（1，1）；
　?、赼＞0時，y=x在（0，+∞）上為增函數(shù)；a＜0時，y=x在（0，+∞）上為減函數(shù)；
　　③在第一象限［1，+∞），y=x繞點（1，1）逆時針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)a增大；
　?、躽=x不會在第四象限出現(xiàn)。
　　利用類似方法，可以探究指數(shù)函數(shù)y=x和對數(shù)函數(shù)y=log的圖像性質(zhì)，從而得到如下有關(guān)重要性質(zhì)：
　?、賧=a繞點（0，1）逆時針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)a增大：當(dāng)a＜0時，原函數(shù)在R內(nèi)單調(diào)減；當(dāng)a=0時，原函數(shù)為在x軸上（0，+∞）內(nèi)的一條射線；當(dāng)a＞0時，原函數(shù)在R內(nèi)單調(diào)增（圖3）；
　?、趛=log繞點（1，0）順時針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)a增大：當(dāng)0＜a＜1時，原函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減；當(dāng)1＜a時，原函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增（圖4）。
　　這樣，有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等相關(guān)性質(zhì)就串聯(lián)起來了。
　　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)概念是中學(xué)必修的3類基本初等函數(shù)。教材中是通過指數(shù)式、對數(shù)式引入指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，采用8個具體函數(shù)圖像解析冪函數(shù)概念。而這些過程并不能很好地體現(xiàn)這三個函數(shù)的圖形變化趨勢，各類函數(shù)性質(zhì)也難以得到綜合。通過超級畫板，教師在課堂上能即時作出各類函數(shù)圖像，并使其動態(tài)變化。這樣性質(zhì)的總結(jié)便能順其自然，一氣呵成。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)必修1［M］.北京：人民教育出版社，2004.