解排列組合問題的常用技巧

　　一、特殊元素和特殊位置——優先策略
　　例1：由0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數？
　　解：由于末位和首位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置。
　　先排末位，共有C；然后排首位，共有C最后排其它位置，共有A。由分步計數原理得CCA=288.
　　二、相鄰問題——捆綁策略
　　例2：7人站成一排，其中甲乙相鄰，且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？
　　解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。
　　由分步計數原理可得共有AAA=480種不同的排法。
　　三、不相鄰問題——插空策略
　　例3：一個晚會的節目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈節目不能連續出場，則節目的出場順序有多少種？
　　解：分兩步進行：第一步，排2個相聲和3個獨唱共有A種，第二步，將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間，包含首尾兩個空位，共有A種不同的方法。
　　由分步計數原理，節目的不同順序共有AA=43200種。
　　四、定序問題——倍縮空位插入策略
　　例4：7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少不同的排法？
　　法1：倍縮法：對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數，則共有不同排法種數是：=840
　　法2：空位法：設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有A=480種方法。
　　法3：插入法：先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余四人依次插入，共有4×5×6×7=840方法。
　　五、重排問題——求冪策略
　　例5：把6名實習生分配到7個不同車間實習，共有多少種不同的分法？
　　解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有7種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推，由分步計數原理共有7=117649種不同的排法。
　　六、元素相同問題——隔板策略
　　例6：有10個運動員名額，要分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？
　　解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個空隙。
　　在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有C=84種分法。
　　七、住店法策略
　　解決“允許重復排列問題”要注意區分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
　　例7：七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有?搖 ?搖?搖。
　　分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得7=16807種。
　　八、平均分組問題——除法策略
　　例8：6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
　　解：分三步取書C得CC種方法，但這里出現重復計數的現象，不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF該分法記為（AB，CD，EF），則CCC種方法中還有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A種取法，而這些分法僅是（AB，CD，EF）一種分法，故共有=15種分法。
　　九、多面手問題——合理分類與分步策略
　　例9：在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少選派方法？
　　解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞，3人為全能演員.以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究。
　　只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有CC種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員有CCC種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有CC種，由分類計數原理，共有CC+CCC+CC=199種。
　　十、環排問題——線排策略
　　例10：5人圍桌而坐，共有多少種坐法？
　　解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A，并從此位置把圓形展成直線，其余4人共有A種排法即：（5-1）！=24
　　十一、多排問題——直排策略
　　例11：8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
　　解：8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素，有A種，再排后4個位置上的特殊元素，有A種，其余的5人在5個位置任意排列，有A種，則共有AAA=5760種。
　　
　　參考文獻：
　　［1］中學生數學.
　　［2］中學數理化.
　　［3］數學通訊.