談談數學解題能力的培養

　　在數學教學中，學生各種能力最終要通過解題來具體體現，因此學生的解題能力的培養在教學中應占有重要地位，我就如何培養學生的解題能力，談談自己的看法。
　　一、培養學生養成認真審題的習慣
　　審題是解題的基礎，學生解題出錯誤，或解題感到困難，往往是由于不認真審題或不善于審題造成的。
　　1.明確題意。審題就是要明確題意，搞清命題的語法結構。例如，求不等式:x2-4x+3<0的正整數解的個數。此題是求解的個數，而并非求解。
　　在審題時要弄清關聯詞語的意義。如：“不大于”“不小于”“增加”“增加到”。遇到幾何的文字證明題時，把題設和結論分清，寫成“如果…那么…”的形式。
　　2.挖掘隱含條件。所謂隱含條件是指題目中給出但不明顯，或沒有給出但隱含在題意中的那些條件。對于前者需要將不明顯的條件轉化為明顯的條件；對于后者則需要根據題設，挖掘隱含在題意中的條件。從某種意義上來說，養成審題的習慣，提高審題能力，重要的是先提高學生挖掘隱含條件、化未知為己知的能力。如：提到從圓外一點引圓的兩條切線，應首先想到切線長定理，并且它的圖形中包括很多隱含條件：弧相等、圓心角相等、三角形全等、三角形相似。這些都是應在審題時聯想到的。
　　又如：已知方程：x+2（m-2）x+m+4=0有兩個實根，且這兩個根的平方和比兩根的積大21，求m的值。不少同學由韋達定理，設方程的兩根為x、x，列式解得：m=17，m=-1。然而，這是錯誤的，因為解題中忽視了隱含條件——m的取值范圍。即△=4（m-2）-4（m+4）≥0，即m≤0，這樣m只能取-1。
　　二、注意總結解題的方法和要點
　　在學習了一定的內容之后，引導學生歸納總結解決某類問題的方法和要點，這對于提高解題能力大有益處。
　　例如：在解兩圓相切問題時，常過切點作兩圓的公切線；在解決兩圓相交問題時，常連結公共弦或作連心線；解高次方程的思想是降次；解分式方程的思想是化成整式方程；解無理方程的思想是化成有理方程。
　　三、注意一題多解與一題多變
　　所謂一題多解，就是同一個題目，考慮使用多種不同的解法。強調一題多解，有利于培養學生綜合運用數學知識的能力。例如某些幾何問題可用代數法、三角法、解析法來解等。
　　所謂一題多變，就是指同一個題目適當變換，變化為多個與原題內容不同，但解法相同或相近的題目，這有利于擴大學生的視野，深化知識，舉一反三，觸類旁通，從而提高解題能力。如：
　　已知：AE是△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC于D，
　　求證：AB·AC=AD·AE
　　（變式一）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于D，
　　求證：AB·AC=AD·2AO
　　（變式二）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圓，R為⊙O的半徑，AD⊥BC于D，
　　求證：AB·AC=AD·2R
　　（變式三）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圓，OE是⊙O的半徑，AD⊥BC于D，
　　求證：AB·AC=AD·2OE
　　（變式四）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圓，MN為⊙O的直徑，AD⊥BC于D，求證：AB·AC=AD·MN
　　（變式五）：
　　已知：△ABC內接于⊙O，AD⊥BC于D，E、F兩點在⊙O上，且弧EF=60°，求證：AB·AC=AD·2EF
　　這些題的原型是課本例題，單獨看是六道題，整體看是由一個題目演變而來的，考查的是同一知識點。
　　四、注意命題的推廣與聯想
　　命題的推廣就是把命題的條件一般化，從而推出更為普遍的結論。命題的聯想，就是在解完題后，再改變命題的條件和結論，從縱橫兩方面加以引申、拓廣，從而獲得新的結論。通過命題的推廣與聯想，我們不只是學會一道題的解法，而是一組題、一類題的解法。如果能長期堅持，可培養學生深入鉆研習題的習慣，激發我們在數學上的創新精神，這無疑對提高解題能力和創造力是十分有益的。
　　例如：點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系、及圓和圓的位置關系，分數與分式，因數與因式分解，全等與相似，方程與不等式等可以進行類比聯想。
　　又如：可以把相似三角形的性質推廣到相似多邊形的性質等。
　　五、解題過程中，注意滲透數學思想
　　數學中常見的數學思想有：轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等。
　　轉化思想可以把復雜問題簡單化，抽象問題具體化。如：運用換元法解方程；把高次方程轉化為低次方程；把分式方程化成整式方程；利用消元法把二元一次方程組化為一元一次方程，都是利用了轉化思想。
　　數形結合思想是指在解幾何題時，通過未知與已知的關系建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知數的數值，達到求線段長的目的。“數”有抽象概括的特點，“形”有具體形象的特點，運用數形結合，互相補充，常能收到事半功倍的效果。
　　數學思想是解題的靈魂，數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是溝通基礎與能力的橋梁。在教學時，適時滲透，可以避免就題論題，死套模式，使我們在解題時，加強思路分析，尋求已知和未知的聯系，提高分析問題的能力，從而使思維能力和解題能力都有所提高。