運用等效法解

　　中國歷史上有“曹沖稱象”的故事：年僅六歲的曹沖，借助船舷上刻畫的記號，用很多的石頭代替大象，產生相同的效果，再一次次地稱出石頭的重量，求其之和，就間接稱出了大象的重量。這種“大小轉化”的巧妙思維方法就是一種很好的“等量替換法”。
　　所謂等效法是把復雜的物理現象、物理過程轉化為簡單的物理現象、物理過程來研究和處理的一種科學思想方法，也是物理學研究的一種重要方法。它是通過對問題中的某些因素進行變換或直接利用相似性，移用某一規律進行分析而得到相等效果。在教學和學習過程中，若能經常將此法滲透到對過程的分析中去，不僅可以使我們對物理問題的分析和解答變得簡捷，而且對靈活運用知識、促使知識、技能和能力的遷移，都會有很大的幫助。
　　下面通過實例介紹四種等效思維方法。
　　一、作用等效思維
　　作用的等效即是用一種簡單的作用等效替代幾種復雜的作用，從而使問題得到簡化。
　　例１：如圖1所示，質點的質量為2kg，受到六個大小、方向各不相同的共點力的作用處于平衡狀態，今撤去其中的3N和4N的兩個互相垂直的力，求質點的加速度？
　　解析：本題中各力的方向都沒有明確標定，撤去兩個力后合力是什么方向一時難以確定。但從力的作用效果分析，其他（7N、6N、2N、6.2N）四個力的合力Ｆ一定與這兩個力（3N、4N）的合力Ｆ平衡，如圖2所示，也就是說Ｆ與其他（7N、6N、2N、6.2N）四個力的作用效果相同，而Ｆ與這兩個力（3N、4N）的作用效果相同。
　　因此，撤掉3N和4N的兩個力，質點受到的合力可以認為只有Ｆ，故a====2.5m/s，方向沿3N和4N兩個力的對角線的反方向。
　　例2：如圖3所示，一條長為L的細線，上端固定，下端拴一質量為m的帶正電小球。將它置于一勻強電場中，電場強度大小為E，方向水平。已知當細線偏離豎直方向α（α≤45°）時，小球處于平衡狀態。如果將細線偏角從α增大到θ，然后將小球由靜止開始釋放，則θ角應為多大才能使細線到達豎直位置時，小球的速度剛好為零？
　　解析：本題的原型是重力場中的單擺問題。現在小球不僅受到重力mg的作用，而且受到電場力Eq的作用，若將這兩個力合成為一個力——等效重力，就容易判斷出小球的平衡位置O點，如圖3所示。小球若從A′點釋放后，在A與A′之間的來回振動就是在等效重力場中的等幅振動。由單擺的知識可知：小球通過平衡位置O時速度最大，而在兩振幅位置A與A′時速度為零。由單擺振動的對稱性可知θ=2α。
　　二、過程等效思維
　　過程的等效是指用一種或幾種簡單的物理過程來替代復雜的物理過程，使物理過程得到簡化。
　　例3：如圖4所示，空間存在水平向右的勻強電場E，直角坐標系的y軸為豎直方向，在坐標原點O有一帶正電量q的質點，初速度大小為v，方向跟x軸成45°，所受電場力大小質點的重力相等。設質點質量為m，運動一段時間后它將到達x軸上的P點。求質點到達P點時的速度大小和方向。
　　解析：質點在重力和電場力的共同作用下作曲線運動。根據其受力特點，可將質點的曲線運動等效分解為豎直方向的豎直上拋運動和水平方向的勻加速直線運動。
　　在豎直方向有：v=v/2
　　t=2v/g=v/g
　　v=v=v/2
　　而在水平方向：a=Eq/m=g
　　v=v+at=（v/2）+v=3v/2
　　所以：v==v
　　v與x軸正方向的夾角為θ，則有：
　　tanθ=v/v=1/3
　　所以：θ=arctan1/3
　　例4：邊長為a的正方形導線框放在按空間均勻分布的磁場內靜止不動，磁場的磁感應強度B的方向與導線框平面垂直，B的大小隨時間按正弦規律變化，如圖5(1)所示。則導線框內感應電動勢的最大值為多少？
　　解析：本題的常規思路是利用法拉第電磁感應定律E感=△Φ／△t，寫出Φ的瞬時表達式，再把Φ對時間t進行求導。但在高中階段的教學中，并未涉及這方面的知識，因此不少同學看到此題后感覺無從下手。我們寫出磁通量Φ的瞬時表達式：Φ=BS=Basin(2πt/T)，可以發現，這種磁通量Φ的變化過程與線圈在磁場中饒垂直于磁場的軸勻速轉動時磁通量Φ的變化過程相同，因此可以把本題所涉及的變化過程等效為：一個面積為a的正方形線框在磁感應強度為B的勻強磁場中繞垂直于磁場的軸以角速度ω=2π/T作勻速轉動，線圈中將產生交流電，則感應電動勢的最大值為：Em=BSω=Ba×2π/T=2πBa/T。
　　三、模型等效思維
　　模型的等效是指用簡單的、易于研究的物理模型代替復雜的物理客體，使問題簡單化。
　　例5：如圖6所示電路，R為定值電阻，R為可變電阻，E為電源電動勢，r為電源內阻。則當R的阻值為多少時，R消耗的功率最大？
　　解析：電源內阻恒定不變時，電源的輸出功率隨外電阻的變化不是單調的，存在極值：當外電阻等于內阻時，電源的輸出功率最大。在討論R的功率時，由于R不是整個外阻，因此不能直接套用上述結論。但如果把電源與R的串聯等效成一個新電源，R就是這個等效電源的外電阻，而等效電源的內阻為R+r，如圖7。很顯然，當R的阻值等于等效電源的內阻R+r時，R消耗的功率即等效電源的輸出功率將達到最大。
　　例6：如圖8（1）所示，把輕質導線圈用絕緣細線懸掛在磁鐵N極附近，磁鐵的軸線穿過線圈的圓心且垂直于線圈平面。當線圈中通入如圖8（2）所示的方向的電流時，判斷導電線圈如何運動。
　　解析：本題中研究的是磁體對環形電流的作用，我們可以利用安培定則把環形電流等效為一個小磁針，如圖8（2），從而把本題轉換為我們所熟知的磁極與磁極之間的作用。由磁極間作用規律可推知，線圈將向磁鐵靠近。
　　四、測量等效思維
　　測量等效思維，是指對物體或物質的某些物理量和特性的測量，通過“等量替換”、“組合替代”的方法進行等效測量。
　　在《力的測量》中根據平衡的條件，利用等效的觀點，將我們要測量的力等效為彈簧中的彈力，將物體受到的重力等效為處于平衡狀態的物體受到的支持面的支持力或懸掛物的拉力。
　　在《驗證動量守恒定律》實驗中等效的運用更是達到了極致。由于小球作從相同的高度開始做平拋運動，因此其在空中的飛行時間相同。取飛行時間為單位時間，可以用水平射程來表示水平方向的速度，也就是水平速度由水平射程等效替代。