巧用各種運動求曲率半徑

　　曲率半徑在數學上有嚴格的意義和表達式，而曲率半徑的計算需要用到高等數學的知識。在中學階段，我們可巧用各種運動來求曲率半徑，具體舉例如下。
　　1 利用平拋運動
　　題目 求拋物線y=ax2(a＞0)上，任意一點的曲率半徑。
　　解析 可以構建一個初速度為v0的平拋運動，建立拋出點為坐標原點，初速度方向為x軸的坐標系（如圖1所示）。
　　則x=v0t，
　　y=12gt2。
　　拋物線的軌跡方程為y=ax2式中
　　a=g2v02。
　　拋物線上任一點A的速度
　　v=v02+2gy，
　　設A點的曲率半徑為ρ，則v2ρ=gcosθ，
　　又因cosθ=v0v，所以ρ=v3gv0，
　　化簡此式得到：
　　ρ=12a(1+4a2x2)32。
　　2 利用勻速率運動
　　題目 四質點A、B、C、D在同一平面上運動。每時刻，A速度總對準B，速度大小為常量u，B速度總對準C，速度大小同為u，C速度總對準D，速度大小同為u，D速度總對準A，速度大小同為u。某時刻，A、B、C、D恰好逆時針方向按序位于各邊長為l的正方形四個頂點上，試求此時A的運動軌道在此位置的曲率半徑ρ。
　　解析 經過Δt時間，A、B、C、D位置變化如圖2所示。A的速度變化是Δu，方向與u垂直，Δu=uΔθ，又因uΔt=lΔθ，則A的加速度為a=Δu/Δt=u2/l，方向與u垂直。
　　又因A做勻速率運動，無切向加速度，a心=a，根據ρ=u2/a心，所以ρ=l。
　　3 利用勻速直線運動與勻速圓周運動的合運動
　　題目 半徑為R的輪子在水平直線MN上方純滾動，輪子邊緣上任意點P的運動軌跡不妨稱為上滾輪線。如圖3所示，將上滾輪線繞MN向下翻轉180°，成為下滾輪線。下滾輪線可看成R輪子在下方沿直線MN純滾動時輪子邊緣點P的軌跡。
　　求此軌跡最低點的曲率半徑ρ。
　　解析 點P的運動可以看成是水平方向的勻速運動(設速度為v0)，與豎直平面內的勻速圓周運動（角速度為ω）的合運動。根據純滾動可知
　　ω=v0R
　　而當P點運動到軌跡最低點時，速度（對地）2v0，向心加速度為
　　a心=v02R
　　又因ρ=（2v0)2a心，ρ=4R。
　　同樣方法其實可以求出任一點的曲率半徑。即用上面方法可以求出滾輪線上任一點的曲率半徑。
　　用勻速直線運動和勻速圓周運動的合運動還可以來求等距螺旋線的曲率半徑。
　　4 利用勻速直線運動與簡諧運動的合運動
　　題目 如圖4所示一余弦曲線y=Acosx，當0＜x＜π/2時，求曲線上各點的曲率半徑ρx。
　　解析 設質點在x方向做勻速直線運動，速度大小為v0，y方向做簡諧運動
　　y=Acosv0t，
　　則質點運動的軌跡為y=Acosx。
　　則vx=v0，ax=0，
　　vy=-v0Asinv0t，
　　ay=-v02Acosv0t
　　當質點運動到P點時，
　　v=vx2+vy2=v01+A2sin2v0t
　　tanθ=｜vyvx｜=Asinv0t
　　a心=aycosθ=-v02Acosv0t1+A2sin3v0t
　　ρx=v2a心=(1+A2sin2v0t)3/2Acosv0t
　　當0＜x＜π/2時
　　ρx=(1+A2-A2cos2x)3/2Acosx
　　根據圖線的對稱性，則可得余弦曲線任一點的曲率半徑。
　　5 利用勻速直線運動和一般變速直線運動的合運動
　　題目 求解曲線y=ex的曲率半徑隨x的分布ρ（x)。
　　解析 設質點沿y=ex軌道運動過程中，x方向運動為x=vt，即勻速直線運動。y方向分運動為y=ev t，則vx=v，vy=vev t，ax=0，ay=v2ev t，如圖5所示。
　　則a心=acosθ=ayvxu=v3ev tu
　　ρ=u2a心，ρ=u3v3ev t，
　　又u=vx2+vy2=v1+e2v t
　　則ρ=(1+e2x)3/2e-x
　　6 利用簡諧運動和簡諧運動的合運動
　　題目 求橢圓x2a2+y2b2=1上，任意一點的曲率半徑。
　　解析 可以構建一個這樣一個運動，水平方向做簡諧運動，振幅為a，恢復力Fx=-k1x，x=acost，vx=-asint，所以ω=1，又因ω=2πT、T=2πmk1，則k1=m。豎直方向也做簡諧運動，振幅為b，恢復力Fy=-k2y，y=bsint，vy=bcost，同理k2=m。這樣的兩個分運動的合運動的軌跡為橢圓
　　x2a2+y2b2=1。
　　如圖6所示在橢圓上取一點A（x，y），物體運動到該點的速度
　　v=vx2+vy2
　　=a2sin2t+b2cost，
　　在該點物體受到的向心力
　　F向=｜Fx｜sinθ+｜Fy｜cosθ，
　　又因Fx=-mx，Fy=-my，
　　所以F向=m｜x｜sinθ+m｜y｜cosθ。
　　設A點的曲率半徑為ρ，則v2ρ=F向m，
　　即v2ρ=｜x｜sinθ+｜y｜cosθ，
　　又sinθ=｜vy｜v、cosθ=｜vx｜v，
　　則v2ρ=｜x｜｜vy｜v+｜y｜｜vx｜v=abv，
　　所以ρ=v3ab=(a2sin2t+b2cos2t)3/2ab，
　　則ρ=(a4y2+b4x2)3/2a4b4。
　　7 利用勻變速曲線運動與勻速圓周運動的合運動
　　題目 半徑為r的圓盤以角速度ω轉動，現與水平面成α角以速度v拋出圓盤，圓盤運動時圓盤面保持豎直。求當圓盤上升到最大高度時，盤上最高點運動軌跡的曲率半徑。
　　解析 圓盤上各點的運動可以看作是圓盤圓心的斜拋運動和繞圓盤的勻速圓周運動。由題意可知，圓盤中心在最高點的速度為vcosα，繞盤中心可以順時針或逆時針轉，則最高點的速度為
　　vA=vcosα±ωr。
　　最高點的加速度為aA=aAO+aO，其中aAO為最高點相對于盤中心的加速度，大小為ω2r，方向豎下向下，aO為盤中心相對地的加速度，大小為g，方向豎直向下，由此可得aA=ω2r+g，因此可得盤上最高點的運動軌跡的曲率半徑為
　　ρ=vA2a心，則ρ=（vcosα±ωr)2(ω2r+g)
　　同理可得圓盤上各點運動軌跡的曲率半徑。
　　8 利用勻速圓周運動和勻速圓周運動的合運動
　　題目 如圖7所示，固定環R=4r，小環在貼著在環內壁作純滾動，小環的邊緣某點滾出的曲線叫滾輪線，求內滾輪線的最大曲率半徑ρ。
　　解析 滾輪線上各點的運動可以看成是繞圓心O′的勻速圓周運動和圓心O′繞圓心O的勻速圓周運動的合運動。
　　設小環自轉角速度為ω1、線速度為v，小環圓心繞大環圓心轉動的角速度為ω0，
　　根據運動關聯有，rω1=(R-r)ω0，
　　所以ω1=(R-r)ω0r，
　　又滾動線曲率半徑最大處在弧中段，
　　此點線速度大小為v1