一種3D分形樹(shù)的仿真實(shí)現(xiàn)

摘 要:論文首先闡述了帶參IFS理論，然后分析了自然界中在風(fēng)中樹(shù)的搖曳形態(tài)，根據(jù)IFS理論定義了3D分形樹(shù)的一般形式，然后確定仿射矩陣和參數(shù)，最后給出了一個(gè)四叉樹(shù)的IFS碼，并繪制了此3D分形樹(shù)在風(fēng)中搖曳形態(tài)。

關(guān)鍵詞:分形樹(shù) IFS 搖曳

中圖分類號(hào):TP391\t\t文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A\t\t\t文章編號(hào):1672-3791(2011)10(a)-0005-01

分形理論能很好地描述一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)則的幾何對(duì)象，如蜿蜒曲折的海岸線，繁茂的樹(shù)木植物，起伏不定的山脈等，因此在自然景物的仿真繪制中得到了廣泛應(yīng)用。樹(shù)木一直是虛擬現(xiàn)實(shí)，GIS等領(lǐng)域的重要描述對(duì)象，而分形為人們表達(dá)樹(shù)木實(shí)體提供了很好的方法，因此近年來(lái)對(duì)分形樹(shù)的研究也逐漸成熟[1]。通常對(duì)分形樹(shù)的描述有遞歸算法、IFS算法和LS算法，其中由Bamsley提出的分形疊代系統(tǒng)IFS具有較大的影響力，在植物與樹(shù)木的計(jì)算機(jī)生成方面顯示出明顯的優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)研究人員對(duì)IFS算法生成2D、3D樹(shù)進(jìn)行了大量深入的研究，并對(duì)構(gòu)造分形3D樹(shù)的IFS碼的獲取提出了切實(shí)可行的方法，本文對(duì)原有的IFS算法提出了改進(jìn)，利用改進(jìn)的算法實(shí)現(xiàn)了3D樹(shù)的構(gòu)建，并實(shí)現(xiàn)了3D樹(shù)受不同方向不同風(fēng)力影響而搖曳的各種形態(tài)。

1 帶參IFS理論

1.1 疊代函數(shù)系統(tǒng)IFS

一個(gè)疊代函數(shù)系統(tǒng)由一個(gè)完備的度量空間(X，d)和一個(gè)有限的壓縮映射集及其相應(yīng)得壓縮因子，n=1，2，…N所組成，因此IFS可表示為{X;，n=1，2，…，N}，其壓縮因子便是S=MAX{;n=1，2，…N}。

1.2 帶凝聚的IFS

設(shè){}為具有壓縮因子的IFS，如果定義變換為:，，，則稱為凝聚變換，C為凝聚集，則{}稱為帶凝聚的IFS[2]。

1.3 帶參量的IFS

設(shè)(X，d)是度量空間，{}是一個(gè)帶凝聚的IFS，令:是以為壓縮因子的壓縮映射族，亦即對(duì)每個(gè)固定的是X上的一個(gè)壓縮映射，對(duì)每一個(gè)固定的W在P上是連續(xù)的，則W的不動(dòng)點(diǎn)連續(xù)地依賴于p，相應(yīng)地，我們稱此時(shí)的IFS為帶參量的IFS。

2 搖曳的3D分形樹(shù)的實(shí)現(xiàn)算法

2.1 大自然中風(fēng)中樹(shù)的特點(diǎn)

風(fēng)向:較常見(jiàn)的風(fēng)向一般是和地面近似平行的，即風(fēng)向的方向向量可定義為{nx，0，nz}。

搖曳樹(shù)的特點(diǎn):樹(shù)搖曳時(shí)，一般是和風(fēng)向垂直的分支搖擺幅度大，而且幅度由外到內(nèi)逐漸減小;樹(shù)頂搖曳幅度大，由上到下幅度逐漸減小。樹(shù)枝搖曳的方向?yàn)轱L(fēng)向。

2.2 帶依賴參數(shù)的變換矩陣的確定

根據(jù)樹(shù)枝搖曳的特點(diǎn)，風(fēng)從(nx，0，nz)方向吹過(guò)來(lái)，整個(gè)樹(shù)身近似于繞直線旋轉(zhuǎn)，同時(shí)兩邊的樹(shù)枝的搖擺可看作近似于繞Y軸小幅度旋轉(zhuǎn)。這里為保持更加真實(shí)性，要求:(1)旋轉(zhuǎn)幅度不要過(guò)大;(2)樹(shù)頂影響最大，往下影響逐漸減小，我們可采用不同階段的風(fēng)力因子來(lái)控制。

根據(jù)IFS思想，3D樹(shù)的主枝到分枝的生長(zhǎng)，可近似認(rèn)為由主干繞過(guò)樹(shù)根(原點(diǎn))的向量為(x，0，y)直線作旋轉(zhuǎn)變換，再進(jìn)行壓縮、平移變換而成。其中仿射變換的形式可簡(jiǎn)寫(xiě)為，其中為壓縮因子，為仿射變換矩陣，為平移量。基于IFS思想，我們可定義一顆3D分形樹(shù)為:，在這里，r的三個(gè)分量分別代表x軸，y軸，z軸方向的偏移量，、和分別是主枝依次繞x軸，y軸，z軸的旋轉(zhuǎn)角度。設(shè)3D樹(shù)的變換矩陣分別為:分枝偏移量矩陣，繞x軸角度矩陣，繞y軸角度矩陣，繞z軸角度矩陣。求的逆變換分別為，，，根據(jù)分形樹(shù)定義有。 、角和依據(jù)我們的需要而定(即希望分枝的形態(tài))，此時(shí)的為無(wú)風(fēng)時(shí)的變換矩陣，為了加入樹(shù)頂向風(fēng)向搖曳特征，我們?cè)O(shè)風(fēng)向?yàn)椋L(fēng)力為，則加入?yún)?shù)后的為: 當(dāng)然，還要加入和風(fēng)向近似垂直的兩側(cè)樹(shù)枝向風(fēng)向方向擺動(dòng)，兩側(cè)樹(shù)枝和風(fēng)向越接近垂直擺動(dòng)幅度越大，此時(shí)可看作樹(shù)枝繞Y軸旋轉(zhuǎn)，而且兩側(cè)樹(shù)枝旋轉(zhuǎn)方向相反。設(shè)樹(shù)枝當(dāng)前向量為，風(fēng)向?yàn)椋瑒t同風(fēng)向向量L垂直的向量為，計(jì)算向量與樹(shù)枝向量的夾角余弦:，的范圍為:，當(dāng)為時(shí)，即樹(shù)枝與風(fēng)向相同時(shí)影響最小，當(dāng)為0或時(shí)影響最大。

2.3 IFSP碼的確定

通常獲取二維IFS碼所依據(jù)的是Barnsley的拼貼定理，即:設(shè)是一組IFS碼，壓縮比為C，e是任意小的正數(shù)，T為上給定的邊界閉合的子集，假設(shè)已選定，使得，那么。這里，B為該IFS的吸引子;h為Hausdorff距離，同樣將此定理的應(yīng)用擴(kuò)展到三維空間，依此來(lái)判斷由一個(gè)3D-IFS經(jīng)連續(xù)變換所產(chǎn)生的吸引子與給定的初始集的相似程度，三維空間上的仿射變換的形式可簡(jiǎn)寫(xiě)為。所以確定一組IFS碼，就是確定這組壓縮映射中每一個(gè)的變換系數(shù)和。在帶參IFS中，我們最終也是要確定仿射變換的變換系數(shù)，由于我們加入的參數(shù)可表示的變換系數(shù)，所以我們用參數(shù)代替的系數(shù)作IFS碼。由本文前面所論述，我們可確定IFS碼包括:分枝繞X軸的旋轉(zhuǎn)角度，繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角度，X方向上的壓縮因子，Y方向上的壓縮因子，Z方向上的壓縮因子，風(fēng)力影響因子，仿射變換的概率，X方向上的偏移量，Y方向上的偏移量，Z方向上的偏移量。

3 圖形繪制實(shí)例

根據(jù)上述思想，制作一個(gè)四叉樹(shù)，初始化樹(shù)干的方向?yàn)?0，1，0)。要注意的是以上一項(xiàng)為風(fēng)力風(fēng)力影響因子，它控制樹(shù)的每個(gè)部位受風(fēng)力的影響力，從數(shù)值可以看出，樹(shù)的上部的值為0.6，即受風(fēng)力影響最大，旁枝分別為0.45，0.45，0.35，0.25，樹(shù)干下部受風(fēng)力影響最小為0.1。

4 結(jié)果分析

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:(1)通過(guò)修改樹(shù)枝旋轉(zhuǎn)的角度可以有目的的改變樹(shù)的形態(tài)。(2)通過(guò)改變風(fēng)向和風(fēng)力可以控制樹(shù)的搖曳形態(tài)。由此，本文利用分形算法模擬了一個(gè)樹(shù)的多種形態(tài)。

參考文獻(xiàn)

[1]\t趙欣，林和平．三維分形樹(shù)木模型在3D GIS中的應(yīng)用[J]．吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，21(3):307～311.

[2]\t李水根，吳紀(jì)桃．分形與小波[M]．北京:科學(xué)出版社，2002.

[3]\t孫家廣，等．計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，1998.